Difusiones - globales y locales

Question

Supongamos $dX_t = \mu(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t$ es una difusión. Hay un sentido en el que la dinámica está "dominado" localmente por la difusión plazo, y a nivel mundial dominado por la deriva del término?

Si $\mu$ $\sigma$ son constantes, entonces la ley del logaritmo iterado dice que la contribución de la difusión plazo es ligeramente mayor que $\sqrt{t}$, mientras que la contribución de la deriva del término lineal.

Por otro lado, las pequeñas escalas de tiempo pequeñas variaciones en los niveles de ruido dominar cualquier estimación que uno puede hacer de la deriva del término.

Hace un similar principio se aplica a la más general diffusions?

Answer 1

Si $\mu$ $\sigma$ no son demasiado salvajes, a continuación, la dinámica local está determinado por la difusión. Sin embargo, la gran escala de comportamiento puede verse afectado por la difusión.

Un ejemplo que puede ayudar es considerar un potencial hill. Una partícula se coloca un poco a la izquierda del pico tienden a rodar hacia abajo a la izquierda. Una partícula se coloca un poco a la derecha tienden a rodar hacia la derecha. Sin embargo, los puntos fuertes de las tendencias dependen de la difusión. Si usted tiene dos pozos de potencial con una colina, entre ellos, la proporción del tiempo que pasó en el más profundo pozo depende de la difusión, no sólo en la forma del bien.