Límites y convolución

Question

Permita$f,g \in L^2(\mathbb{R^n})$,$\{ f_n \}, \{ g_m \} \subset C^\infty_0(\mathbb{R}^n)$ (funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto) donde$f_n \to f$ in$L^2$ y$g_n \to g$ in$L^2$.

Entonces$f_n \star g_m(x) \to f \star g(x)$ pointwise como$n,m \to \infty$ (donde$\star$ indica convolución).

Es verdad que $\int_{\mathbb{R}^n} f_n \star g_m dx \to \int_{\mathbb{R}^n} f \star g dx$?

He pensado en usar el teorema de la convergencia dominada, pero no pude averiguar cómo, ya que realmente no sé qué puedo hacer con las secuencias de funciones dadas sólo los hechos a la mano.

Answer 1

No , no es cierto.

Primera nota de que podemos mejorar pointwise convergencia convergencia uniforme de $f_{n} \ast g_{m} \to f \ast g$. Esta es una sencilla consecuencia de Hölder la desigualdad (marcado no le gusta mi subíndices, así que voy a utilizar $\|\cdot\|$ $L^{2}$- norma): \[ |(f \ast g)(x)| \leq \int |f(x - y) g(y)|\,dy \leq \|f\| \|g\|. \] Como $f_{n} \ast g_{m} - f \ast g = f_{n} \ast (g_{m} - g) + (f_{n} - f) \ast g$ tenemos \[ |(f_{n} \ast g_{m})(x) - (f \ast g)(x)| \leq \|f_{n}\| \|g_{m} - g\| + \|f_{n} - f\| \|g\|. \] Desde $\|f_{n}\| \to \|f\|$ y el tanto $\|f_{n} - f\| \to 0$$\|g_{m} - g\| \to 0$, el lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeña, independientemente de $x$. De ello se desprende, en particular, que $f \ast g$ es continua y se desvanece en el infinito (que es una razón por la que prefiero escribir $C_{c}$ para las funciones con soporte compacto y $C_{0}$ para las funciones de fuga en el infinito).

Pero no podemos hacer mejor, es decir, obtener $L^1$-convergencia, sin más hipótesis. A ver qué pasa, yo prefiero ignorar la condición de que $f_{n} \in C^{\infty}$, pero en lugar de mirar la función de $f_{n} = \frac{1}{n}[-n,n]$. A continuación,$f_{n} \to 0$$L^{2}$, pero no en $L^{1}$. Por el argumento anterior tenemos $f_{n} \ast f_{n} \to 0$ uniformemente en $\mathbb{R}$. Por otro lado es fácil ver que para $x \in [-\frac{n}{2},\frac{n}{2}]$ \[ (f_{n} \ast f_{n})(x) = \int f_{n}(y) f_{n}(x-y)\,dy \geq \frac{1}{n^{2}} \frac{n}{2} = \frac{1}{2n} \] (los intervalos de $[-n,n]$ $[-n-x,n-x]$ tienen una superposición de longitud de, al menos,$\frac{n}{2}$) y por lo tanto tenemos la estimación de $\int (f_{n} \ast f_{n}) \geq \frac{1}{2}$. Por lo tanto no podemos tener a $\int f_{n} \ast f_{n} \to \int f \ast f = 0$. Ahora es fácil de cocinar un ejemplo a lo largo de estas líneas con las funciones lisas.

Answer 2

Para cualquier integrable $f$ $g$ (así, en particular, para las funciones en $C_O({\mathbb R}^n)$ ha $\int_{{\mathbb R}^n} f \ast g = \int_{{\mathbb R}^n} f \int_{{\mathbb R}^n} g$. Así que tu pregunta está preguntando si $\int_{{\mathbb R}^n} f_n \int_{{\mathbb R}^n} g_n$ necesariamente converge a $\int_{{\mathbb R}^n} f \int_{{\mathbb R}^n} g$. Un contraejemplo será proporcionado por dejar a $f_n = g_n$ tal que $f_n$ converge a$f$$L^2$, pero tal que $\int_{{\mathbb R}^n} f_n$ no converge a $\int_{{\mathbb R}^n} f$. Para hacer esto, uno puede dejar a $\phi(x)$ ser cualquier función suave con soporte compacto e integral de una y, a continuación, deje $f_n(x) = {1 \over n} \phi({x \over n})$. Cada una de las $f_n$ tendrá integral de la $1$, pero $f_n(x)$ converge en $L^2$ $f(x) = 0$que ha integral de cero.