Análisis intuitivo de gradiente, divergencia, curl

Question

He leído los más básicos e importantes piezas de cálculo vectorial son gradiente, la divergencia y la curvatura. Estas tres cosas son demasiado importantes para analizar un campo de vectores y que han pasado por el significado físico de gradiente, divergencia y curl.

Gradiente indica la dirección de la máxima tasa de cambio de una función, y se define como $\nabla u(\mathbf{x})\equiv\mathrm{grad} \, u(\mathbf{x})$ donde $u(\mathbf{x})$ es una función escalar del vector de posición $\mathbf{x}$.

Mientras que la divergencia representa la densidad de volumen del flujo hacia el exterior de un infinitesimal de volumen alrededor de un punto y se define como: $\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}(\mathbf{x})\equiv\mathrm{div} \, \mathbf{A}(\mathbf{x})$

Y el curl significa la infinitesimal de rotación alrededor de un punto y se define como: $\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}(\mathbf{x})\equiv \mathrm{curl} \, \mathbf{A}(\mathbf{x})$

Y ahora he de estudio y también formular matemáticamente que $\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \left[\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}(\mathbf{x})\right]=\mathrm{div} \left[\mathrm{curl} \mathbf{A}(\mathbf{x})\right]=0$.

Y $\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\left[\nabla u(\mathbf{x})\right] =\mathrm{curl}\left[ \mathrm{grad} \, u(\mathbf{x})\right]= \boldsymbol{0}$ donde u es una función escalar

Ahora mi pregunta es ¿cómo puedo interpretar esas dos expresiones? Quiero decir, yo quiero que el significado físico de estas dos expresiones en el sentido de la definición de gradiente, divergencia, curl, y también el uso de la representación gráfica.

Answer 1

Ya que tu pregunta es cómo obtener una comprensión intuitiva de lo que los dos ecuaciones $\nabla \cdot \nabla \mathbf{F} = 0$ $\nabla \times \nabla f=\mathbf{0}$ significa, voy a hablar de las ecuaciones en una configuración simple. La más sencilla e intuitiva la configuración en la que estoy pensando es un discreto configuración: la red de nido de abeja, que se muestra a continuación.

$\hskip 2 in$

Permítanme explicar cómo cálculo vectorial trabaja en este entramado. Una función escalar toma valores discretos de los vértices de la red.

Un campo de vectores toma los valores en los bordes de la rejilla. Esto tiene sentido porque los vectores debe representar el movimiento de un punto a otro.

El gradiente de una función de $f$, en cada borde, en una magnitud igual a la diferencia entre el $f$ en los dos extremos de la arista, y de la dirección del gradiente, por supuesto, es de menor valor para el valor más alto.

Ahora, cuando usted toma el curl de obtener una función definida en cada cara (que es, hexágono) de la rejilla. Esto tiene sentido porque el curl debe decirle a usted cómo el campo de vectores que está pasando en un "círculo". En este caso, el "círculo" es realmente un hexágono. Vamos a ver un ejemplo de la curvatura de un campo vectorial.

En la figura anterior, los valores del campo de vectores $\mathbf{F}$ se muestran en rojo. Aquí me he tomado el sentido antihorario para ser positivo, por lo que un valor negativo significa que el vector de la realidad apunta en la dirección de las agujas. El rizo se puede encontrar mediante la adición de los valores a medida que se mueven en contra de las agujas del reloj a lo largo de la hexagonal. Por lo que el valor de la curvatura en el hexágono se muestra en la figura es $4$.

Ahora vamos a ver por qué la curvatura de la gradiente tiene que ser cero.

Arriba he puesto los valores de la función en negro en cada vértice. El gradiente se muestra en rojo en cada borde, como en la foto anterior. Nos encontramos en este caso que la curvatura es cero. La razón es simple. Cuando usted está tomando el rizo en este caso, la suma de las diferencias en los valores de la función como usted se mueve alrededor del hexágono. Pero ya que usted termina donde empezó, la suma de los cambios debe ser cero.

Ahora vamos a pensar acerca de por qué la divergencia de la curvatura debe ser cero. Para tomar la divergencia, nos debe mover a las tres dimensiones. Así que vamos a pensar acerca de la pelota de fútbol forma que se muestra a continuación.

Como antes, las funciones se definen en los vértices, los vectores se definen en los bordes, la curvatura se define en las caras. Lo nuevo es que la divergencia se define en el volumen encerrado por la pelota de fútbol.

Para ver por qué la divergencia de la curvatura es cero, le acaba de mirar lo que está pasando en los dos hexágonos más cercano a nosotros.

En este caso, tenemos un campo de vectores $\mathbf{F}$, que puede tomar valores arbitrarios en los bordes. He elegido a valores aleatorios para el bien de la ilustración. De nuevo, el rizo definido en cada hexágono es la suma de $\mathbf{F}$ como se mueve alrededor del hexágono hacia la izquierda. El sentido antihorario es importante aquí. Observe el borde donde se $\mathbf{F}=4$ (el que se muestra en un cuadro) se incluye en el cálculo de la curvatura en ambos hexágonos. En la parte inferior del hexágono, tiene un signo positivo, ya que esta $\mathbf{F}$ hace punto en la dirección a la izquierda como usted va alrededor de la parte inferior del hexágono. Sin embargo, tiene un signo negativo en la parte superior del hexágono, ya que no esta $\mathbf{F}$ puntos en la dirección de las agujas. Ahora bien, desde la divergencia es la suma de los valores sobre todos los rostros, y el borde de la contribución de la parte inferior de la cara es el opuesto de la contribución a la parte superior de la cara, que vemos que este borde tiene cero aporte a la divergencia. Pero cada borde en la pelota de fútbol se encuentra en dos caras, de modo que cada borde da cero aporte a la divergencia, y por lo tanto la divergencia debe ser cero.

Ahora probablemente debería decir algunas palabras acerca de cómo esto se relaciona con la situación de la normal en el espacio euclidiano. La situación es realmente muy análoga. Se puede medir la curvatura de un campo de vectores tomando su integral de línea alrededor de los pequeños círculos. Sin embargo, en el caso de un gradiente, la integral de línea indica el total cambio en la función de como vaya alrededor del círculo. Desde la final donde empezar, el cambio total debe ser cero. Desde estas integrales deben ser cero para el gradiente, la curvatura de un gradiente debe ser cero.

La divergencia puede ser medido mediante la integración de la esfera que pasa a través de una pequeña esfera. Si usted tiene un no-vector cero en la superficie, entonces tenderá a crear una apuntando hacia afuera rizo en su izquierda, pero en su interior un apuntando rizo en su derecho. Estas dos contribuciones a la divergencia que se cancelan, por lo que el viento con cero divergencia.

Answer 2

Comencemos con $$\mathrm{div} \left[\mathrm{curl} \mathbf{A}(\mathbf{x})\right]=0$$

Considere el campo electrostático, tiene fuentes para salir de (cargas positivas) y los sumideros para ir en (cargas negativas). Este campo tiene un valor distinto de cero de la divergencia.

Cuando decimos que la divergencia de $\mathrm{curl} \mathbf{A}(\mathbf{x})$ es igual a cero, esto significa que el rizo no tiene fuentes o sumideros, su flujo total de una superficie cerrada es siempre cero y por lo general es un campo uniforme o formas cerradas vórtices (como el campo magnético). En general, cualquier vector de campo con un cero divergencia tiene que ser un rizo de algún otro campo.

La segunda ecuación: $$\mathrm{curl}\left[ \mathrm{grad} \, u(\mathbf{x})\right]= \boldsymbol{0}$$ no tiene mucho que deducir. Un campo con cero curl se llama irrotacional. En un simplemente se conecta la región, por ejemplo, un campo es conservativo (ruta de la independencia y no vórtices), pero ya sabemos que esta en un gradiente.