¿Puede cada función continua curvada expresarse como una fórmula?

Question

Por "curvo", me refiero a que no es parte de una gráfica de una función que es una línea recta. (Primero, vamos a limitar el caso de que en el caso de 2 dimensiones.. y si alguien puede explicar los casos de más de 2 dimensiones de los escenarios agradecería.. pero lo que realmente quiero saber es el 2-dimensional).

También vamos a decir que una función es surjective (dominio-rango de la relación).

Así, puede cada continuos y curvos función de ser descrito como una fórmula, como los senos, cosenos, combinaciones de ellos, o sea cual sea la fórmula?

gracias.

Answer 1

No, no importa lo que la definición de la fórmula de utilizar. De hecho, casi todas las "curvas" funciones continuas no puede ser expresada mediante una fórmula. Esto es debido a que una fórmula es una secuencia de longitud finita de símbolos elegidos a partir de un alfabeto finito, y por lo que hay sólo countably muchas fórmulas. Sin embargo, hay una cantidad no numerable de "curva" de las funciones (por ejemplo, $x^2-r$ cualquier $r\in\mathbb R$), por lo que la mayoría de estos no puede ser expresada mediante una fórmula. Tenga en cuenta que sólo escribo $x^2-r$ no es una fórmula, hasta que me he dado una fórmula para el valor particular de $r$, lo cual no es posible para la mayoría de las $r\in\mathbb R$.

Answer 2

No. En primer lugar, porque cuando usted dice, "sea cual sea la fórmula" probablemente incluyen las operaciones elementales, tal vez potencia fraccionaria, y un par de funciones conocidas (seno, coseno, exponencial, por ejemplo); hay muchas otras funciones, no sólo continua pero infinitamente diferenciable que se sabe que son imposibles de expresar en términos de funciones elementales mencionadas anteriormente.

Pero también hay algo más profundo, que es que cuando te dicen "continuo", que son gráficamente el pensamiento de una función derivable. Cualquier función que se expresa "por una fórmula" es casi seguro que diferenciable, y lo más probable es infinitamente diferenciable. Pero existen funciones continuas que no son ni siquiera diferenciable en un punto único.

Answer 3

La respuesta depende un poco de lo que consideras una fórmula. La función$f(x)=-x^2$ para$x<0$,$f(x)=x^3$ para$x\ge 0$ es muy curvy, y continua en todas partes. La función es también sobrejectiva, e inyectiva.