Acerca de la categoría$\mathrm{Set}(G)$

Question

Yo no soy bueno con las categorías. He intentado varias veces para entender lo que es una transformación natural es, y hasta ahora no he fallado. Pero estoy tratando de aprender topología algebraica, y parece que tengo que darle una oportunidad. En particular, tengo que entender la categoría de la izquierda $G$-juegos para un grupo de $G$ debido a la clasificación teorema para la cobertura de los mapas.

Por supuesto, sé lo que es un $G$ -, y sé que algunos ejemplos. Sé que todo conjunto puede ser una $G$-set para cualquier grupo de $G$ mediante la definición de $$gx=x$$ for all $g\in G$ and $x\in X$. When $X$ and $S$ are sets of different cardinalities, such $G$-sets are not isomorphic, which means that the isomorphism classes of objects in $\mathrm{Set}(G)$ no forman un conjunto. Así que supongo que una clasificación podría ser imposible.

Pero me pregunto si los ejemplos importantes de $G$-conjuntos de alguna manera especial (tal vez definible) en esta categoría. Por ejemplos importantes me refiero especialmente estos:

• la izquierda coset espacios de subgrupos de $G$ (en particular, la homomórfica imágenes de $G$) actuó por la multiplicación;
• los subgrupos normales de $G$ actuado por la conjugación;
• el juego de poder de $G$ la acción de la multiplicación.

Si no he puesto algo importante en esta lista, me gustaría aprender acerca de esto también.

Me gustaría saber si hay algo que caracteriza a estos ejemplos hasta el isomorfismo en $\mathrm{Set}(G)$ y si tal vez hay algunos (tal vez parcial) a la clasificación o a la caracterización de $G$-establece el uso de estos ejemplos. Por ejemplo, algo como esto iba a ser bueno: cada $G$es isomorfo a una izquierda coset espacio de algunos de los subgrupos de $G$. Esto es claramente falso, pero este es el tipo de cosa que tengo en mente. No estoy seguro de que puedo explicarme mejor.

Yo haría el amor a aprender algunos categoría de la teoría a partir de las respuestas, pero por favor tenga en cuenta que mi comprensión de la misma es muy limitada por lo que probablemente necesita más explicación que otros pueden.

Answer 1

Este es usally respondió en el contexto de Grothendieck de la Teoría de Galois (donde $G$ es un profinite grupo, por ejemplo el etale grupo fundamental de un sistema, y sólo consideramos finito continua $G$-conjuntos). Ver Lenstra notas sobre la teoría de Galois para esto. Sólo lo menciono esto como telón de fondo, el resto de esta respuesta explica algunas de estas ideas y esperemos que las respuestas a su pregunta.

En $\mathsf{Set}(G)$ co-productos son sólo distintos sindicatos dotado con las obvias $G$-acción, y el objeto inicial es el conjunto vacío, dotado con las únicas $G$-acción. De manera más general, el olvidadizo functor $U : \mathsf{Set}(G) \to \mathsf{Set}$ crea todos los colimits. (Por cierto, $U$ está representado por $G$, por lo que, en particular, $\mathrm{End}(U) \cong \mathrm{End}(G) = G$ y se puede reconstruir el grupo $G$ $U$ - este es el discreto Tannakian reconstrucción.)

Un objeto de una categoría con co-productos se llama conectado si no es inicial y no puede ser escrito como un subproducto de dos no-inicial de los objetos.

Uno puede comprobar fácilmente que los objetos conectados de $\mathsf{Set}(G)$ son precisamente los transitiva $G$-conjuntos. Además, cada objeto es único(!) subproducto de objetos conectados: Esta es la costumbre de la descomposición de una acción en sus órbitas. Los objetos conectados se pueden clasificar (a no canónica de isomorfismo), son precisamente los coset conjuntos de $G/U$ donde $U$ es un subgrupo de $G$. Aquí, $G/U$ $G/V$ son isomorfos iff $U$ $V$ se conjugan para cada uno de los otros. Cómo caracterizar el caso de que $U$ es normal?

Un objeto conectado a $X$ de una categoría con co-productos y cocientes se llama Galois si el cociente $X/\mathrm{Aut}(X)$ es un terminal de objeto.

Uno debe imaginar esto como "la automorphism grupo de $X$ actúa transitivamente sobre $X$". Para $G/U \in \mathsf{Set}(G)$, significa que para todos los $g \in G$ hay algunas automorphism $\sigma : G/U \to G/U$$\sigma([1])=[g]$. Pero, a continuación, para $u \in U$ tenemos $[ug] = u [g] = u \sigma([1]) = \sigma([u])=\sigma([1])=[g]$, es decir,$g^{-1} u g \in U$. Por lo tanto, $U$ es normal. Lo contrario también es fácil de comprobar. Por lo tanto, la Galois objetos de $\mathsf{Set}(G)$ corresponden a los subgrupos normales de $G$.

Debido a que usted está aprendiendo topología, he aquí una razón de por qué estos categoría de la teoría de los conceptos son útiles: Si $X$ es un buen señaló espacio topológico, entonces cubre la teoría nos dice que hay una equivalencia de categorías $\mathrm{Cov}(X) \cong \mathsf{Set}(\pi_1(X))$. Cada equivalencia de categorías conserva objetos y propiedades que se definen en el lenguaje de la categoría de teoría. Así, por ejemplo, vemos que cada cubrir el espacio es único, distinto de la unión de conectado revestimientos, que la normalidad de los subgrupos de $\pi_1(X)$ corresponden a Galois revestimientos de $X$, etc. Nosotros no necesita más argumentos para esto, la equivalencia de las categorías es todo lo que necesitamos!

Answer 2

Si$G$ actúa transitivamente en$S$ y$s\in S$, obtendremos una bijection$G/G_s\to S$,$gG_s\mapsto gs$, por lo que los ejemplos de su primer punto bullit son precisamente los casos con Acción transitiva.