Cómo comprobar si una ecuación puede resolverse con Lambert $\operatorname{W}$ función.

Question

Estoy muy interesado en Lambert $\operatorname{W}$ y quiero saber cómo comprobar si alguna ecuación se puede resolver utilizando esta función.

Ejemplo $1$ : $$e^xx=a$$ Para esta ecuación es evidente que $x=\operatorname{W}_k(a)$ donde $k\in\mathbb{Z}$ .

Ejemplo $2$ : $$a^xx=b$$ Ahora debemos reducirlo a la forma $e^{f(x)}f(x)=c$ y luego usar Lambert $\operatorname{W}$ función. $$e^{x\ln a}x=b$$ $$e^{x\ln a}x\ln a=b\ln a$$ $$x\ln a=\operatorname{W}_k(b\ln a)$$ $$x=\dfrac{\operatorname{W}_k(b\ln a)}{\ln a}$$ No es muy difícil de resolver.

Ejemplo $3$ : $$a^x+bx+c=0$$ Es muy difícil resolverlo y tras largos cálculos obtendremos $$x=\dfrac{-b\operatorname{W}_k\left(\dfrac{\ln a\cdot a^{-\dfrac{c}{b}}}{b}\right)-c\ln a}{b\ln a}$$
Ejemplo $4$ : $$a^{x^2}+bx+c=0$$ No se conoce ninguna solución para esta ecuación.

Ejemplo $5$ : $$\sin x+x=a$$ o $$\dfrac i 2e^{-ix}-\dfrac i 2e^{ix}+x=a$$ Mi pregunta es cómo comprobar si una ecuación puede resolverse con Lambert $\operatorname{W}$ función.

Answer 1

Supongamos una ecuación ordinaria $F(x)=c$ donde $c$ es una constante y $F$ es una función. Aislar $x$ en un lado de la ecuación sólo mediante operaciones a toda la ecuación significa aplicar una función inversa parcial adecuada (rama de la relación inversa) $F^{-1}$ de $F$ : $\ x=F^{-1}(c)$ .

El problema de la existencia de inversos elementales de funciones elementales se resuelve mediante el teorema de [Ritt 1925] que se demuestra también en [Risch 1979].

El problema de la existencia de números elementales como soluciones de ecuaciones polinómicas irreducibles $P(x,e^x)=0$ se resuelve en [Lin 1983] y [Chow 1999].

Pero LambertW no es una función elemental.

I. a. los siguientes tipos de ecuaciones de $x$ puede resolverse en forma cerrada aplicando Lambert W o sin Lambert W.

Sea
$c_1,...,c_8\in\mathbb{C}$ ,
$f,f_1$ funciones en $\mathbb{C}$ con inversas locales cerradas adecuadas.

$$\tag 1 c_1x^{c_2}+c_3x^{c_4}\left(e^{c_5+c_6x^{c_7}}\right)^{c_8}=0$$

$$\tag 2 c_1f(x)^{c_2}+c_3f(x)^{c_4}\left(e^{c_5+c_6f(x)^{c_7}}\right)^{c_8}=0$$

Si $c_2,c_4\neq0$ , $x=0$ y $f(x)=0$ respectivamente es una solución.

$$\tag 3 c_1+c_2x+e^{c_3+c_4x}=0$$

$$\tag 4 f_1\left(c_1+c_2f(x)+e^{c_3+c_4f(x)}\right)=0$$

Si tiene un $x$ -en el lado izquierdo de la ecuación, puede restar el término exponencial de la ecuación y dividir la ecuación por él para obtener un producto de una potencia de $x$ (o $f(x)$ ) y un término exponencial de $x$ (o $f(x)$ ) para aplicar Lambert W.

Véase también [Edwards 2020], [Galidakis/Weisstein], [Köhler].

Si su ecuación contiene una función exponencial o una función logarítmica pero no se puede llevar a la forma de las ecuaciones (1) - (4), puede intentar aplicar una generalización predefinida de Lambert W.
Véanse, por ejemplo, [Corcino/Corcino/Mezö 2017], [Dubinov/Galidakis 2007], [Galidakis 2005], [Maignan/Scott 2016], [Mezö 2017], [Mezö/Baricz 2017], [Barsan 2018], [Castle 2018].
$\ $

[Barsan 2018] Barsan, V.: Siewert solutions of transcendental equations, generalized Lambert functions and physical applications. Open Phys. 16 (2018) 232-242

[Castle 2018] Castle, P.: Series de Taylor para funciones W de Lambert generalizadas. 2018

[Chow 1999] Chow, T.: Qué es un número de forma cerrada. Am. Math. Monthly 106 (1999) (5) 440-448

[Corcino/Corcino/Mezö 2017] Corcino, C. B.; Corcino, R. B.; Mezö, I.: Integrales y derivadas relacionadas con la función r-Lambert. Transformadas integrales y funciones especiales 28 (2017) (11)

[Dubinov/Galidakis 2007] Dubinov, A.; Galidakis, Y.: Solución explícita de la ecuación de Kepler. Physics of Particles and Nuclei Letters 4 (2007) 213-216

[Edwards 2020] Edwards, S.: Extensión de soluciones algebraicas usando la función W de Lambert. 2020

[Galidakis 2005] Galidakis , I. N.: Sobre la resolución de la p-ésima ecuación auxiliar compleja $f^{(p)}(z)=z$ . Variables complejas 50 (2005) (13) 977-997

[Galidakis/Weisstein] Galidakis, I.; Weisstein, E. W.: Torre de energía. Wolfram MathWorld

[[Köhler, Th: Utilización de la función W lambertiana (función omega)](http://www.thkoehler.de/midnightblue/lambert.pdf)

[Lin 1983] Ferng-Ching Lin: La conjetura de Schanuel implica las conjeturas de Ritt. Chin. J. Math. 11 (1983) (1) 41-50

[Maignan/Scott 2016] Maignan, A.; Scott, T. C.: Función polinómica-exponencial y función de Lambert generalizada. 2016

[Mezö 2017] Mezö, I.: On the structure of the solution set of a generalized Euler-Lambert equa-tion. J. Math. Anal. Appl. 455 (2017) (1) 538-553

[Mezö/Baricz 2017] Mezö, I.; Baricz, A.: On the generalization of the Lambert W function. Transact. Amer. Math. Soc. 369 (2017) (11) 7917-7934 (Sobre la generalización de la función W de Lambert con aplicaciones en física teórica. 2015)

[Risch 1979] Risch, R. H.: Algebraic Properties of the Elementary Functions of Analysis. Amer. J. Math. 101 (1979) (4) 743-759

[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Funciones elementales y sus inversas. Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90

Answer 2

Generalmente, no se puede resolver algo de la siguiente forma: $$x^{x+c}$$ por culpa del estúpido " $c$ ".

Si no puedes introducirlo en el formulario $f(x)e^{f(x)}$ probablemente tampoco tenga solución.

Normalmente no se puede resolver $$f(x)g(x)$$ donde $f(x)$ está a más de un "nivel" de $g(x)$ . Por ejemplo: $$xe^{e^x}$$ no tiene solución porque $x$ está a dos "niveles" de $e^{e^x}$ .

Los niveles negativos pueden tratarse como logaritmos.

A la función W de Lambert no le gusta la suma, por lo que normalmente se cancela la suma mediante exponenciación y aplicando las propiedades de los exponentes.

Cualquier base se considera bien (normalmente) porque puedes cambiar la base con las propiedades de exponente/logaritmo también.