Pruebalo $\frac{d^n}{dx^n} \cos(ax) = a^n \cos (ax + \frac{n\pi}{2})$

Question

• Pregunta

  Pruebalo $\frac{d^n}{dx^n} \cos(ax) = a^n \cos (ax + \frac{n\pi}{2})$

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Podría calcular las primeras derivadas de$\cos(ax)$ y, en consecuencia, observar el patrón que se despliega, que a su vez me puede correlacionar con$a^n \cos (ax + \frac{n\pi}{2})$.

Sin embargo, tengo curiosidad por una prueba que no se basa en tantas palabras , algo algo más concreto (¿podría decirlo de esa manera?).

Incluiría algunos de mis intentos, pero todo es trivial.

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Answer 1

Como$\cos ' (x)= -\sin (x) = \cos(x + \pi/2)$ y$\sin'(x) = \cos(x) = \sin(x+\pi/2)$, esto es sólo una consecuencia de la regla de la cadena y la linealidad de la derivada.

Answer 2

Insinuación. Sea$a, x$ números reales. Observe que $$ \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {ia x} = (ia) ^ ne ^ {ia x} = a ^ ne ^ {in \ frac {\ pi} {2}} Ya que$$ \cos x = \Re \:e^{ix}, \quad x \in \mathbb{R},$ $ se obtiene fácilmente $ \ frac {d ^ n} {x} Dx ^ n} \ cos (ax) = a ^ n \ cos \ izquierda (ax \ frac {n \ pi} {2} \ derecha). $$

Answer 3

Un enfoque un poco diferente: de la representación de Euler$\cos x=\frac{\operatorname{e}^{ix}+\operatorname{e}^{-ix}}{2}$ tenemos $ \ frac {\ operatorname {d ^ n}} {\ operatorname {d} x ^ n} \ cos (ax) = \ frac { ) ^ N \ operatorname {e} ^ {iax} (- ia) ^ n \ operatorname {e} ^ {- iax}} {2} = a ^ n \ cos \ } {2} \ right) $$ ya que$(\pm i)^n=\operatorname{e}^{\pm in\frac{\pi}{2}}$.