Reuleaux Rodillos

Question

El Reuleaux polígonos son análogos de los polígonos regulares, excepto que las "partes" se compone de un círculo de arcos en lugar de líneas. Es conocido por un número impar de lados, por ejemplo, el triángulo de Reuleaux, el polígono tiene anchura constante.

Después de leer el papel de las Carreteras y las Ruedas por Stan Vagón y Leon Hall, tengo curiosidad sobre cómo se puede construir la "carretera" para Reuleaux ruedas; es decir, la búsqueda de la curva tal que cuando un Reuleaux polígono rollos en él, el eje en el centroide del polígono de experiencias ningún desplazamiento vertical.

Mi problema es que no parece sencillo, al menos para mí, cómo construir la correspondiente ecuación diferencial para la carretera, como se presenta en el papel. Desde los círculos de rollo en líneas horizontales, y equiángulo espirales rollo en las líneas inclinadas, yo supondría que el camino necesario para un rodillo de Reuleaux no sería un modelo lineal por tramos. Esto demuestra que el "camino" no puede ser una línea horizontal para un triángulo de Reuleaux, ya que el eje no se mantengan al mismo nivel cuando la curva está rodando.

Entonces, ¿cómo construir la carretera? Una solución para el triángulo de Reuleaux estaría bien, pero una solución general es mucho mejor.

Answer 1

EDIT: Se ha traído a mi atención por el autor de esta página web que la solución se presenta a continuación es incompleta/incorrecta. Se proporciona una fórmula para la altura de la carretera como una función de la $\theta$. Sin embargo, para ser útil, necesitamos una fórmula para la altura como una función de desplazamiento horizontal (por ejemplo: queremos que $h = f(x)$, no $h = f(\theta)$). Para ver fácilmente por qué la solución a continuación es insuficiente, tenga en cuenta que la curva se extiende por debajo de un (horizontal) la distancia de a $\pi \over 3$, lo que significa que la longitud de arco de la curva debe ser mayor. Sin embargo, la longitud del arco de un segmento del triángulo de Reuleaux es exactamente $\pi \over 3$.

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Voy a ofrecer una solución para el triángulo. Es fácilmente generalizable a otros Reuleaux polígonos. A partir de este javascript demo y esta página web, vemos que una carretera susceptibles de Reuleaux ruedas consiste en una serie de golpes. Nuestro objetivo es proporcionar una fórmula para uno de esos golpes.

Deje $ABC$ ser un triángulo equilátero de lado de longitud 1. Deje $D$ ser el centro de gravedad de $ABC$. Deje $AEFB$ ser un arco circular centrada en $C$ y pasando a través de $A$ $B$ donde $CE$ es el elegido para bisecar $AB$ $F$ es un elegido de forma arbitraria punto en el arco. Por último, vamos a $G$ ser un punto en $CE$, de modo que $FG$ es perpendicular a $CE$.

La idea es medir la longitud de $\overline{DF}$ como una función de la $\theta = \angle FCE$. Procedemos de la siguiente manera:

1. $\overline{CD} = {1\over{\sqrt{3}}}$ (ejercicio izquierda para el lector)
2. $\overline{CF} = 1$ (por definición)
3. $\overline{FG} = \sin(\theta)$
4. $\overline{CG} = \cos(\theta)$
5. $\overline{DG} = \overline{CG} - \overline{CD} = \cos(\theta) - {1\over{\sqrt{3}}}$
6. $\overline{DF} = \sqrt{\sin(\theta)^2 + \cos(\theta)^2 - {2\over{\sqrt{3}}}\cos(\theta) + {1\over 3}}$
7. $\overline{DF} = \sqrt{{4\over 3} - {2\over{\sqrt{3}}}\cos(\theta)}$

Se observa que el $\overline{DF}$ se maximiza cuando se $\theta$ es mayor; en este caso, al $\theta = {\pi \over 6}$ donde $\overline{DF} = \sqrt{1 \over 3}$. A partir de esto, llegamos a la conclusión de que nos puede servir de modelo a uno de los Reuleaux baches en la carretera por:$$\sqrt{1 \over 3} - \sqrt{{4\over 3} - {2\over{\sqrt{3}}}\cos(\theta)}\quad,\qquad {-\pi \over 6} \leq \theta \leq {\pi \over 6}$$

Podemos ir a Wolfram Alpha para una parcela de esta curva:

Answer 2

Me refiero a la figura de arriba. El triángulo tiene los laterales de longitud y $1$, y el punto de culminación de la carretera, está en el origen $O$. Dejar que el camino de $s\to (x(s),y(s))$ ser parametrizada por longitud de arco y deje $\theta:=-\arg(\dot x,\dot y)$. A continuación, el punto de $A$ en la figura está dada por $A=(x+\sin\theta, y+\cos\theta)$, y el centroide $Z$ del triángulo por $Z=(\ldots,\ y+\cos\theta-\cos(\theta + s)/\sqrt{3})$. Como $Z$ debe mantener su segunda coordenada constante podemos obtener la condición de $$-\sin\theta-\sin\theta\cdot\dot \theta +\sin(\theta + s)\cdot(\dot\theta+1)/\sqrt{3} =0$$ (tenga en cuenta que $\dot y=-\sin\theta$) de donde se obtiene $$(\dot\theta+1)(\sin(\theta+s)-\sqrt{3} \sin\theta)=0.$$ De ello se sigue que aquí el segundo factor tiene que desaparecer de forma idéntica. Esto lleva a $$\tan\theta(s)={\sin s\over\sqrt{3} -\cos s}$$ resp. a $$\dot x(s)=\cos\theta={\sqrt{3}-\cos s\\sqrt{4-2\sqrt{3}\cos s}},\qquad \dot y(s)=-\sin\theta={-\sin s\\sqrt{4-2\sqrt{3}\cos s}}.$$ Desafortunadamente $x(s)$ no es una función primaria.