Haz de cotangentes de un submanifold

Question

Quizás sea una pregunta tonta (o ni siquiera una pregunta), pero me preguntaba si el haz cotangente de un submanifold es de alguna manera canónicamente relacionado con el haz cotangente del espacio ambiente. Para ser más precisos:
Dejemos que $N$ sea un colector y $\iota:M \hookrightarrow N$ sea un submanifold incrustado (inmerso). ¿Es el haz cotangente $T^\ast M$ de alguna manera canónica relacionada con el haz cotangente $T^\ast N$ . Canónico significa, sin elegir una métrica en $N$ . La elección de una métrica da un isomorfismo de $TN$ y $T^\ast N$ y por lo tanto una "relación", ya que el haz tangente del submanifold $M$ puede verse de forma natural como un subespacio del haz tangente del espacio ambiente $N$ ( $\iota$ induce un mapa lineal inyectivo en cada punto $\iota_\ast : T_pM \rightarrow T_pN$ ). Creo que esto no es cierto para el espacio cotangente (sin métrica)
Además, el haz cotangente $T^\ast N$ de un colector $N$ es una especie de "prototipo" de colector simpléctico. La estructura simpléctica en $T^\ast N$ viene dada por $\omega_{T^\ast N} = -d\lambda$ , donde $\lambda$ es la forma de Liouville en el haz cotangente. (forma única tautológica, forma única canónica, potencial simpléctico o como quieras). El haz cotangente del submanifold $T^\ast M$ hereda del mismo modo una estructura simpléctica canónica. Entonces, ¿existe una relación entre $T^\ast N$ y $T^\ast M$ respetando las estructuras simplécticas canónicas. (Creo que el isomorfismo dado por una métrica está respetando (relacionando) estas estructuras, ¿o me equivoco?) Como he dicho, esta pregunta es quizás extraña, pero la canónico existencia de la estructura simpléctica en el haz cotangente es "bastante fuerte". Por ejemplo:
Un difeomorfismo dado $f:X \rightarrow Y$ induce un simplectomorfismo canónico $T^\ast f : T^\ast Y \rightarrow T^\ast X$ (esto puede demostrarse por la propiedad especial de "cancelación del pullback" de la forma de Liouville). Así que en el caso de un difeomorfismo las estructuras simplécticas son "las mismas". De acuerdo, un difeomorfismo tiene más estructura que una incrustación, pero quizás haya una relación similar entre $T^\ast M$ y $T^\ast N$ ?

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EDITAR: Perdón por la confusión, pero el post de Kevins es exactamente una reformulación del problema que me interesa. Para aclarar las cosas: con la notación del post de Kevin:

¿Cuándo (o si) son iguales las estructuras simplécticas retraídas? ¿En qué circunstancias se mantiene $a^\ast \omega_{T^\ast N} = b^\ast \omega_{T^\ast N}$

Creo que esto no es cierto para cualquier submanifold $M \subset N$ pero, ¿cuál es un buen contraejemplo? ¿Es cierto para submanifolds más restringidos como, por ejemplo, submanifolds incrustados que no son sólo homoeomorfismos sobre su imagen, sino difeomorfismos (quizás aquí la respuesta es sí, utilizando la observación del difeomorfismo anterior?)

Answer 1

Aquí hay un intento.

Dejemos que $X$ sea un submanifold de $Y$ y que $i : X \to Y$ sea la inclusión. En general, tenemos la secuencia exacta de haces vectoriales $$ 0 \to N^\ast X \to i^\ast T^\ast Y \to T^\ast X \to 0$$ donde $N^\ast X$ es el haz conormal de $X$ en $Y$ . El epi $i^\ast T^\ast Y \to T^\ast X$ en esta secuencia es el dual del mono $TX \to i^\ast TY$ (la versión global del mapa $i_\ast : T_p X \to T_p Y$ que usted menciona).

Ahora veamos los haces vectoriales no como haces vectoriales sino como sus respectivos espacios totales. Sea $\omega_{T^\ast X}$ y $\omega_{T^\ast Y}$ sean respectivamente las formas simplécticas canónicas sobre $T^\ast X$ y $T^\ast Y$ . Tenemos dos mapas $a : i^\ast T^\ast Y \to T^\ast X$ y $b : i^\ast T^\ast Y \to T^\ast Y$ . La relación que se busca es (creo) que las dos formas simplécticas coinciden después de retroceder a $i^\ast T^\ast Y$ Es decir, $a^\ast \omega_{T^\ast X} = b^\ast \omega_{T^\ast Y}$ .

Creo que lo mismo debería ocurrir con las formas canónicas 1.

Answer 2

Es posible ver el haz cotangente del submanifold como una especie de reducción simpléctica del haz cotangente de la manifold ambiental. Creo que podría ser suficiente para explicar el hecho análogo desde el álgebra lineal.

Sea V un espacio vectorial y U un subespacio. Existe una forma simpléctica natural $\omega_V$ en $V^*\oplus V$ dado por $$ \omega_V((\alpha,u),(\beta,v)) = \alpha(v) - \beta(u) $$ donde las letras griegas son elementos de $V^*$ y las letras romanas son elementos de $V$ . (Esto es sólo d de la forma Louville en esta situación.) Hay una forma análoga $\omega_U$ en $U^* \oplus U$ .

Ahora, dejemos que $U^0$ denotan el annahilador de $U$ en $V^*$ . Consideremos el subespacio $$ U^0 \times\{0\} \subset V^* \oplus V $$ Este subespacio es isotrópico para $\omega_V$ . Su complemento simpléctico es el subespacio coisotrópico $V^*\oplus U$ .

Ahora bien, es un hecho estándar en la geometría simpléctica que si se divide un subespacio coisotrópico por su complemento simpléctico el resultado es naturalmente un espacio vectorial simpléctico. (Este es el álgebra lineal detrás de la reducción simpléctica.) Aplicando esta idea aquí vemos que el cociente $$ (V^*\oplus U )/ (U^0\times\{0\}) $$ hereda una estructura simpléctica natural. Por supuesto, el cociente es precisamente $U^*\oplus U$ y la forma simpléctica no es más que $\omega_U$ .

Answer 3

Mi opinión al respecto: Voy a repetir algo que he dicho en otro lugar: La geometría diferencial es sólo álgebra lineal parametrizada.

Así que primero hay que entender el álgebra lineal subyacente. Si tienes un submanifold $S \subset M$ , entonces para cada $x \in S$ , usted sabe que $T_xS$ es un subespacio lineal de $T_xM$ . ¿Qué nos dice esto sobre los respectivos espacios duales?

Bueno, si tienes un subespacio $L$ de un espacio vectorial $V$ , entonces el correspondiente subespacio natural de $V^\star$ es el aniquilador $L^\perp$ de todos $\xi \in V^\star$ tal que $\langle\xi,v\rangle = 0$ para cada $v \in L$ . Además, el espacio dual $L^\star$ es naturalmente isomorfo a $V/L^\perp$ .

Así que volviendo al submanifold $S$ existe un subfondo natural $N^*S \subset T^\star M$ , donde $N^\star_xS = (T_xS)^\perp$ . Esto se llama comúnmente el haz conormal. El haz cotangente de $S$ es el haz cociente $T^\star M|_{S}/N^\star S$ .

Recuerda que el dual de "es un subespacio de" es "es un cociente de".

Answer 4

Un formalismo que hace $T^\*$ un functor se da en el libro de Kolar+Slovak+Michor Operaciones naturales en geometría diferencial , cap. IX, sección 41, sobre los "funtores del haz de estrellas".