¿Cómo solucionarlo?

Question

Cómo resolver$$\int_0^{\pi} \sin{2x}\sin{x} dx$ $

Edición: Lo siento! Debería haber descrito más. Esto no es una tarea. Recientemente, De repente, me interesó la física y empecé a leer y resolver problemas. Esto es parte de un problema de física donde me quedé atascado (porque me olvidé de todas las fórmulas de la escuela secundaria.). Gracias a todos ustedes por las soluciones maravillosas.

Answer 1

Para complementar la observación de lhf de la simetría del gráfico, observe que si$f(x)=\sin(2x)\sin(x)$, entonces la simetría observada es que$f(\pi/2+x)=-f(\pi/2-x)$, lo que significa que la integral sobre$[0,\pi/2]$ cancela exactamente la integral sobre$[\pi/2,\pi]$.

La simetría se puede ver algebraicamente al anotar que$\sin(\pi/2+x)=\sin(\pi/2-x)$, y que$$\sin(2(\pi/2+x))=\sin(\pi+2x)=-\sin(2x)=\sin(-2x)=-\sin(\pi-2x)=-\sin(2(\pi/2-x)),$$ with each equality being evident from the unit circle definition of $ \ sin$. Multiplying yields $ f (\ pi / 2 2-x) $.

Answer 2

Un poco inspirado por la respuesta de lhf:

ps

ps

ps

ps

ps

Y vemos que la integral es cero.

Es conveniente que$$\int_0^\pi\sin\;2u\;\sin\;u\;\mathrm{d}u$ sea una función extraña.

Answer 3

Sugeriría usar una identidad para$\sin 2x$ que la reescribiera en términos de$\sin x$ y$\cos x$, usando la sustitución ($u=\sin x$) en el resultado.

Answer 4

No hay necesidad de identidades trigonométricas, exponenciales complejas o similares. Observe que - # eqnarray} Por un cambio de variables ($x \to \pi - x$) y la rareza del integrando en el intervalo$[0,\pi]$, usted encuentra que \begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi} \sin(2 x) \sin (x) dx = \int_{0}^{\pi/2} \sin(2 x) \sin (x) dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \sin(2 x) \sin (x) dx \end {eqnarray} Que la integral original desaparece de manera idéntica.

Answer 5

El trazado$ \sin{2x}\sin{x} $ en$[0,\pi]$ muestra que es simétrico con respecto a$x=\pi/2$ y por lo tanto la integral es cero.