Desigualdad de funciones continuas

Question

Deje$u, v$ ser funciones continuas en$[a,b]$ y deje$c>0$. Supongamos que para todo$x \in [a,b]$ tenemos la siguiente desigualdad:

ps

Mostrar que$$|u(x)-v(x)| \leq c \int_a^x |u(t)-v(t)| dt$ para todos$u(x)=v(x)$

Mi primer pensamiento fue considerar$x \in [a,b]$ y tratar de mostrar que$h(x)=|u(x)-v(x)|$, pero me quedé atascado. Además, probé la desigualdad considerando el caso$h=0$, pero no estoy seguro de cómo continuar.

Answer 1

Dejar $H(x)=\int_a^xh(t)\,dt$. Entonces y $H'=h$. $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ($) $ $ $ $ $ $ $ (E $ $ $ $) $$$H'\le c\,H$ es positivo, decreciente y$H(a)=0$.

Answer 2

Una integral de la ecuación de sabor enfoque:

Conjunto

$g(x) = \vert u(x) - v(x) \vert; \tag{1}$

a continuación, dada la desigualdad puede ser escrito

$g(x) \le c\int_a^x g(t) dt = \int_a^x cg(t) dt; \tag{2}$

ahora se aplicará en la forma integral de Gronwall de la desigualdad, que, como la presente, a efectos de que se trate, pueden ser tomados para el estado que continua $w(x)$ satisfactorio

$w(x) \le b + \int_a^x cw(t) dt, \tag{3}$

$b$ constante, también la satisfacción de

$w(x) \le be^{\int_a^x cdt} = be^{c(x - a)}; \tag{4}$

nota: $g(x) \ge 0$ y (4) se muestra, desde la $b = 0$,

$g(x) \le 0. \tag{5}$

Llegamos a la conclusión de que

$g(x) = 0, \tag{6}$

es decir,

$u(x) = v(x) \tag{7}$

para $x \in [a, b]$.

Answer 3

Fijar un$x_1 \in [a,b]$, entonces la función$h(x) = u(x) - v(x)$, satisface,

ps

Considerar, $$|h(x)| \le c\int_a^x |h(x)|\,dx$

A continuación,$\displaystyle \sup\limits_{x \in [a,x_1]} |h(x)| = M_{x_1}$ $

Por lo tanto, si elegimos un$$M_{x_1} = \sup\limits_{x \in [a,x_1]} |h(x)| \le c\sup\limits_{x \in [a,x_1]} \int_a^x |h(x)|\,dx \le M_{x_1}c(x_1-a)$ tal que,$x_1$ debe implicar$x_1-a < 1/c$, así$M_{x_1} = 0$ en el intervalo$h(x) = 0$. Esto nos da el mismo escenario que en$[a,x_1]$ y podemos concluir que$[x_1,b]$ on$h(x) = 0$.