Por una vez y para siempre - "Números racionales" - ¿por la razón, o porque tienen sentido?

Question

Esta es una pregunta que estoy seguro de que fue hecha antes pero no la puedo encontrar. Hay muchas fuentes que afirman que el término "número racional" para los elementos de $\mathbb{Q}$ viene de la palabra "ratio", ya que un número racional es la razón de dos números enteros. Sin embargo, también hay otras fuentes que afirman que es porque "tienen sentido" en oposición a los números irracionales.

Ninguna de las fuentes que he encontrado fueron muy convincentes en cuanto a por qué su afirmación es correcta. Los números racionales e irracionales ya eran conocidos por los griegos, pero no sé si esa era la terminología que usaban y lo que significaba entonces.

Así que mi pregunta es simple: ¿Cuál es el significado de "racional" en número racional? Lo más importante es que cualquier afirmación esté respaldada por una fuente confiable y convincente.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero es demasiado larga para un comentario. Creo que para responder definitivamente a tu pregunta se requeriría acceso a (o conocimiento de) textos matemáticos de la era del Renacimiento y libros/artículos de los años 1700 (cuando las matemáticas en latín comenzaron a traducirse al inglés).

Érase una vez los griegos usaban la palabra "logos" para significar lo que hoy en día entendemos como una proporción (un factor de escala; una cantidad dividida por otra). En el siglo XVII, el texto matemático griego fue traducido al latín y la palabra "ratio" se usó para "logos". En latín, "ratio" significaba algo que estaba razonado, calculado o pensado. Puedes realizar todas estas acciones utilizando la lógica. Pero si estás razonando, calculando o pensando en una computación numérica (como evaluar $\frac{a}{b}$), podrías tener lo que hoy llamamos una "ratio".

Así que diría que la respuesta es ambas cosas. Más recientemente, un "número racional" es lo que hoy llamamos una "ratio" - es un número dividido por otro (especificado a dos números enteros). Pero si miras un poco más atrás en la etimología, la razón por la cual "un número dividido por otro" hoy se llama "ratio" es porque eso sucede ser algo que razonarías. Y así, con esa etimología subyacente, un número racional es un número que "tiene sentido" como resultado final de algún pensamiento lógico.

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Solo porque sí, aquí están mis otros dos elementos favoritos de etimología matemática.

• "radical" proviene del latín para "raíz": "radix". (Pronunciado correctamente, esto suena mucho como "rábano"). Entonces, ¿por qué $\sqrt{}$ se llama signo radical? Probablemente porque $\sqrt{2}$ es una raíz de $x^2-2$. Pero ¿por qué se llaman "raíces" a los ceros de polinomios? ¿Esto tiene algo que ver con otros usos modernos de "radical": aplicado a política, ideas, química, conjuntos de caracteres chinos? Sí, lo tiene. Piensa en cuadrados y lados. En todas estas instancias, algo "radical" está "fuera del camino". Nada de esto tiene nada que ver con "radio", a pesar de la aparente similitud.
• "polígono" a menudo se traduce como una figura de muchos lados. Ciertamente, "poly" significa muchos. Pero "gon" en realidad significa esquina o ángulo. En griego moderno, "goneis" significa codo. Así que me gusta pensar en "polígono" como una figura de muchos codos. "Ortho" significa recto/directo (piensa en ortodoncia: enderezamiento de dientes, y ortodoxia: interpretación directa). Entonces "ortogonal" significa algo así como "teniendo esquinas rectas", que traduciríamos como "tener ángulos rectos".

Answer 2

Me enseñaron (hace décadas en un curso de matemáticas) que en la antigua Egipto de Ptolomeo, antes de que Pitágoras descubriera y demostrara la relación entre los lados de los triángulos rectángulos, la noción de que puedan existir números que no puedan ser expresados como una razón de dos enteros era una idea loca. Irracional, es decir, que no puede ser expresado como una razón, eventualmente se convirtió en sinónimo de loco.

Es fácil entender por qué la gente pensaba que un número irracional era una idea loca porque cualquier medición física de la distancia entre dos puntos puede ser refinada por la magnificación. Por ejemplo, una medición que está entre digamos 5/32 y 3/16 de pulgada puede ser más precisamente expresada quizás como 11/64 de pulgada. Si eso no es lo suficientemente preciso, quizás 21/128 o 23/128 será la respuesta, y así sucesivamente. Pero Pitágoras demostró que no era el caso.

He estado buscando una referencia que respalde esa versión de la etimología.