Hay un largo camino para calcular la expectativa de la parte no cubierta de la zona, y un camino más corto. Ambos caminos de inicio con el conjunto aleatorio $C$ de los puntos del plano que no están cubiertos por un meteorito y con la expresión
$$
\mathrm E(|A\cap C|)=\mathrm E\int_A[x\in C]\,\mathrm dx=\int_A\mathrm P(x\in C)\mathrm dx=p\,|A|,
$$
con $p=\mathrm P(0\in C)$ desde la invariancia por la traducción de la meteorito proceso muestra que el $\mathrm P(x\in C)$ no depende de $x$. Por lo tanto la tarea es calcular los $p$.
El largo camino: Vamos a $\mathcal M$ denotar el conjunto aleatorio de los centros de meteoritos. Deje $\mathcal R=(R(x))_{x\in\mathcal M}$ donde, para cada $x$ en $\mathcal M$, $R(x)$ denota el radio de la meteorito centrado en $x$. A continuación,
$$
\mathrm P(0\C\mid \mathcal M,\mathcal R)=\prod_{x\in \mathcal M}[R(x)\lt\|x\|],
$$
por lo tanto, desde condicionalmente en $\mathcal M$, $\mathcal R$ es una colección de yo.yo.d. variables aleatorias,
$$
\mathrm P(0\C\mid \mathcal M)=\prod_{x\in \mathcal M}\mathrm P(R\lt\|x\|),
$$
donde $R$ denota cualquier variable aleatoria distribuida como los radios $R(x)$.
Ahora entra en juego la hipótesis de que la $R$ es casi seguramente acotado, dicen por $r$. A continuación, el producto de más de $x$ $\mathcal M$ puede ser restringido a un producto a lo largo del $\mathcal M\cap B$ donde $B=\{x\mid\|x\|\leqslant r\}$. Este nuevo proceso de Poisson tiene la intensidad total $\mu=\lambda\pi r^2$ y, de forma condicional en su tamaño, sus puntos están distribuidos de manera uniforme en $B$. Por lo tanto,
$$
\mathrm P(0\C)=\sum_{n\geqslant0}\mathrm e^{-\mu}\frac{\mu^n}{n!}\int_{B^n}\prod_{k=1}^n\mathrm P(R\lt\|x_k\|)\cdot\prod_{k=1}^n\frac{\mathrm dx_k}{\pi r^2}.
$$
La integral sobre la $B^n$ es un producto, por lo tanto
$p=\mathrm e^{-\mu+\mu J/(\pi r^2)}$, con
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J=\int_{B}\mathrm P(R\lt\|x\|)\mathrm dx=\mathrm E\int_B[R\lt\|x\|]\mathrm dx=\mathrm E(\pi r^2-\pi R^2).
$$
Finalmente,
$$
p=\mathrm e^{-\lambda\pi\mathrm E(R^2)},\quad\text{por lo tanto}\quad\color{red}{\mathrm E(|A\cap C|)=\mathrm e^{-\lambda\pi\mathrm E(R^2)}\,|A|}.
$$
El camino más corto: Considerar el proceso de los centros de los meteoritos que cubre el punto de $0$. Este es un heterogéneas proceso de Poisson, que se obtiene por un adelgazamiento de la original proceso de Poisson, donde se mantiene un punto de $x$ con una probabilidad de $\mathrm P(R\gt\|x\|)$. Por lo tanto la intensidad en $x$ de la diluido proceso de Poisson es $\lambda(x)=\lambda\mathrm P(R\gt\|x\|)$ y su intensidad total es
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\nu=\int_{\mathbb R^n}\lambda(x)\mathrm dx=\lambda\int_{\mathbb R^n}\mathrm P(R\gt\|x\|)\mathrm dx=\lambda\mathrm E\int[R\gt\|x\|]\mathrm dx=\lambda\mathrm E(\pi R^2),
$$
Para concluir, se observa que la $0$ no está cubierto si y sólo si el enrarecido proceso de Poisson está vacío, y que esto ocurre con una probabilidad de $\mathrm e^{-\nu}$.
Nota: El argumento anterior se extiende a cualquier distribución de $R$. Esto muestra que $\mathrm E(|A\cap C|)$ siempre es dado por la fórmula anterior. Por lo tanto, si $R^2$ es integrable, $|A\cap C|$ tiene medida positiva con probabilidad positiva, para cada $A$ de medida positiva, pero, si $R^2$ no es integrable, $|C|=0$ casi seguramente.
Lo mismo se aplica a cualquier dimensión y en cualquier objetos al azar en lugar de discos. La condición para comprobar en este ajuste ampliado es si el azar volumen $V$ de estos objetos es integrable o no, y la fórmula para cualquier punto de $x$ del espacio no cubierto se convierte en
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\color{color púrpura}{\mathrm P(x\in C)=\mathrm e^{-\lambda\mathrm E(V)}}.
$$
