¿Qué se entiende por acción cuántica efectiva/proper (transformación de Legendre), existencia de inverso (campo-fuente)?

Question

Dada una teoría cuántica de campos, para un campo escalar $\phi$ con acción genérica $S[\phi]$, tenemos la funcional generadora $$Z[J] = e^{iW[J]} = \frac{\int \mathcal{D}\phi e^{i(S[\phi]+\int d^4x J(x)\phi(x))}} {\int \mathcal{D}\phi e^{iS[\phi]}}.$$

La función de un punto en presencia de una fuente $J$ es.

$$\phi_{cl}(x) = \langle \Omega | \phi(x) | \Omega \rangle_J = {\delta\over\delta J}W[J] = \frac{\int \mathcal{D}\phi \ \phi(x)e^{i(S[\phi]+\int d^4x J(x)\phi(x))}} {\int \mathcal{D}\phi \ e^{i(S[\phi]+\int d^4x J(x)\phi(x))}}.

La Acción efectiva se define como la transformada de Legendre de $W$

$$\Gamma[\phi_{cl}]= W[J] -\int d^4y J(y)\phi_{cl}(y),$$ donde $J$ se entiende como una función de $\phi_{cl}$.

Esto significa que tenemos que invertir la relación $$\phi_{cl}(x) = {\delta\over\delta J}W[J]$$ a $J = J(\phi_{cl})$.

¿Cómo sabemos que la inversa $J = J(\phi_{cl})$ existe? ¿Y la inversa existe para cada $\phi_{cl}$? ¿Por qué?

Answer 1

1. Si tratamos la funcional generadora $W_c[J]$ para diagramas conectados como una serie de potencias formal en las fuentes $J_i$, y si el propagador conectado$^1$ $$\begin{align} \langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_J~=~& \frac{\hbar}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell} }\cr ~=~&\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_J-\langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J\end{align} \tag{1}$$ es invertible en $J=0$, entonces la acción efectiva/proper $$ \Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi^k_{\rm cl} \tag{2}$$ existe como una serie de potencias formal en la variable transformada de Legendre $\phi_{\rm cl}$. En particular, la inversión de la serie de potencias formal $$\phi^k_{\rm cl}~=~\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~=~ \langle \phi^k \rangle_J\tag{3}$$ luego se sigue de una generalización multi-variable del teorema de inversión de Lagrange.

2. Concretamente, a órdenes más bajos, si expandimos $$\begin{align} W_c[J]~=~&W_{c,0} ~+~J_k W_{c,1}^k ~+~\frac{1}{2}J_k W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}J_k J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^4), \end{align}\tag{4}$$ calculamos $$\begin{align} \Delta\phi^k_{\rm cl} ~:=~& \phi^k_{\rm cl}~-~ W_{c,1}^k\cr ~\stackrel{(3)+(4)}{=}&~W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}~+~\frac{1}{2} W_{c,3}^{k\ell m} J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^3),\end{align} \tag{5}$$ de modo que $$\begin{align} J_k~\stackrel{(5)}{=}~&(W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\left(\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^p_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{pm} W_{c,3}^{m\ell n}(W^{-1}_{c,2})_{nq}\Delta\phi^q_{\rm cl} \right)\cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^3_{\rm cl}).\end{align}\tag{6}$$ Perturbativamente, la transformación de Legendre se convierte en $$ \begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}]~\stackrel{(2)+(4)+(6)}{=}& W_{c,0} ~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^k_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}(W^{-1}_{c,2})_{kp}(W^{-1}_{c,2})_{\ell q}(W^{-1}_{c,2})_{mr}\Delta\phi^p_{\rm cl}\Delta\phi^q_{\rm cl}\Delta\phi^r_{\rm cl} \cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^4_{\rm cl}),\end{align}\tag{7}$$ y así sucesivamente.

3. Similarmente, perturbativamente, la transformación inversa de Legendre se convierte en $$ \begin{align} W_c[J]~\stackrel{(2)+(9)}{=}& \Gamma_0 ~-~\frac{1}{2}\Delta J_k (\Gamma^{-1}_2)^{k\ell}\Delta J_{\ell}\cr ~-~&\frac{1}{6} \Gamma_{3,k\ell m}(\Gamma^{-1}_2)^{kp}(\Gamma^{-1}_2)^{\ell q}(\Gamma^{-1}_2)^{mr}\Delta J_p\Delta J_q\Delta J_r\cr ~+~&{\cal O}(\Delta J^4),\end{align}\tag{8}$$ y así sucesivamente, donde $$ \Delta J_k~:=~ J_k~+~ \Gamma_{1,k}.\tag{9}$$

4. En este punto parece natural finalizar con la siguiente Proposición útil.

   Proposición. Si$^2$

   $$\langle \phi^k \rangle_{J=0}~=~0,\tag{10}$$

   o equivalentemente, si

   $$W^k_{c,1}~=~0,\tag{11}$$

   entonces:

   • La función completa de 2 puntos es igual a la función de 2 puntos conectada completa: $$\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_{J=0}~=~\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_{J=0}~=~\frac{\hbar}{i}G_c^{k\ell},\tag{12}$$ cf. ec. (1).

   • $$\Gamma_{1,k}~=~0,\tag{13}$$ cf. ec. (7).

   • $$-(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}~=~(W_{c,2})^{k\ell}~=~G_c^{k\ell}\tag{14}$$ es el propagador conectado completo, cf. ec. (8).

   • No hay tadpoles$^3$ en el sentido de que si un corte único corta un diagrama conectado en 2 partes, entonces ambas partes contienen fuentes $J$, cf. por ejemplo Srednicki, QFT, capítulo 9, p. 67. Esto se sigue del hecho de que (la suma de todos los posibles) diagramas conectados es (la suma de todos los posibles) árboles de propagadores completos y vértices 1PI amputados, cf. esta publicación en Phys.SE.

   • En particular, los diagramas de vacío conectados $W_{c,0}=\Gamma_0$ son todos diagramas 1PI, cf. ec. (8).

   • En particular, la autoenergía $$ \Sigma~=~G_0^{-1}-G_c^{-1},\tag{15}$$ [que en general consiste en diagramas conectados con 2 piernas amputadas de modo que las 2 piernas no pueden ser desconectadas cortando una sola línea interna] ahora solo consiste en diagramas 1PI.

   • La acción efectiva de Wilsonian $W_{c,\rm int}[J\!=\!0,\phi_L]$ consiste$^4$ solo en términos de acción 1PI.

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$^1$ Usamos la notación condensada de DeWitt para no abrumar la notación. Ver también por ejemplo esta publicación relacionada en Phys.SE.

$^2$ Esta es una condición estándar de renormalización. Debido a la conservación del momento, $$ \langle \widetilde{\phi}(k) \rangle_{J=0}~=~\widetilde{W}_{c,1}(k)\propto\delta^4(k) \tag{16}$$ se satisface automáticamente.

$^3$ Tenga en cuenta que la noción de diagramas de renacuajo anterior no es la misma que la de diagramas de bucles internos, cf. Wikipedia.

$^4$ La condición de renormalización (11) se lee en esta situación $$0~=~\langle \phi^k_H \rangle_{J=0,\phi_L}~=~\left. \frac{\delta W_c[J,\phi_L]}{\delta J_k}\right|_{J=0}.\tag{17}$$ La condición de renormalización (17) debe cumplirse para todos los valores del campo de fondo $\phi_L$. Tenga en cuenta que los términos de renacuajo $\phi_H$ $\phi_L\ldots\phi_L\phi_H$ están suprimidos cinemáticamente en la acción efectiva de Wilson. La condición de renormalización (17) es consistente con el flujo del grupo de renormalización. Esto se debe a la ecuación de flujo del grupo de renormalización exacta de Polchinski (ERGE), $$\frac{d W^k_{1,c}}{d\Lambda}~\propto~\ldots \underbrace{\frac{\delta W^k_{1,c}}{\delta\phi_L}}_{=0} +\ldots \underbrace{\frac{\delta^2 W^k_{1,c}}{\delta\phi_L^2}}_{=0}~=~0,\tag{18}$$ cf. por ejemplo mi respuesta en Phys.SE aquí.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante, y aunque no sé una respuesta rigurosa, podemos discutir algunos casos típicos.

Por lo general, existe el inverso, pero los casos en los que este inverso no existe no son necesariamente patológicos (los modelos sólidos pueden tener el problema de que el inverso no existe).

Para teorías de campo estándar (digamos, modelos $\phi^4$, modelos O(N), modelos de espines clásicos, ...), genéricamente el inverso existe, y esto se puede mostrar orden por orden en una expansión de bucles (no sé si esto se ha demostrado en todos los órdenes, pero en libros de texto estándar, se muestra hasta el orden 1 o 2). Sin embargo, el inverso no necesariamente existirá para todos los $\phi_{cl}$, especialmente en fases de simetría rota. De hecho, una fase ordenada se caracteriza por $$\bar\phi_{cl}=\lim_{J\to 0 } \phi_{cl}[J]=\lim_{J\to 0 }W'[J]\neq 0 ,$$ donde $\bar \phi_{cl}$ es el valor de equilibrio del parámetro de orden. Por lo tanto, no se puede invertir la relación $\phi_{cl}[J]$ para $\phi_{cl}\in [0,\bar \phi_{cl}]$ ($\phi_{cl}[J]$ genéricamente aumenta cuando $J$ aumenta).

Además, hay casos en los que el inverso simplemente no está definido, porque $\phi_{cl}[J]={\rm const}$ para todos los $J$. Este es usualmente el caso cuando el campo no tiene dinámica independiente sin una fuente. Por ejemplo, si tomas un solo espín cuántico a temperatura cero, la única dinámica está dada por un campo magnético externo (aquí en la dirección $z$) $$\hat H= -h.\sigma_z.$$ Con $h>0$, el estado fundamental es siempre $|+\rangle$, y el "campo clásico" $\phi_{cl}(h)=\langle \sigma_z\rangle=1/2$ para todos los $h$, y la energía libre de Gibbs (la transformada de Legendre de la energía libre con respecto a $h$, que es esencialmente la acción efectiva) no existe.