¿Cómo se pueden derivar KVL y KCL de las ecuaciones de Maxwell?

Question

¿Cómo puede KVL (Ley de la tensión de Kirchhoff) y KCL (Ley de la corriente de Kirchhoff) ¿se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell en los circuitos lumped? (Red lumped: si $d$ es la mayor dimensión de la red y $\lambda$ es la longitud de onda de la señal, una red lumped satisface la condición $d \ll \lambda$ donde $\lambda=\frac{c}{f}$ )

Notas:

1) El KVL y el KCL funcionan para los circuitos lumped (no para todos los circuitos). Intentar derivar el KVL y el KCL de las ecuaciones de Maxwell sin usar la suposición lumped (suposición lumped: asumir que el circuito es lumped) es erróneo. En realidad 4 Ecuaciones de Maxwell + suposición de lumped $\implies$ 2 Leyes de circuito (KVL Y KCL)

2) La otra cosa que podemos asumir es que no hay energía entrante desde el exterior, como el campo magnético externo.

Answer 1

$\def\vE{{\vec{E}}}$ $\def\vD{{\vec{D}}}$ $\def\vB{{\vec{B}}}$ $\def\vJ{{\vec{J}}}$ $\def\vr{{\vec{r}}}$ $\def\vA{{\vec{A}}}$ $\def\vH{{\vec{H}}}$ $\def\ddt{\frac{d}{dt}}$ $\def\rot{\operatorname{rot}}$ $\def\div{\operatorname{div}}$ $\def\grad{\operatorname{grad}}$ $\def\rmC{{\mathrm{C}}}$ $\def\rmM{{\mathrm{M}}}$ $\def\ph{{\varphi}}$ $\def\eps{{\varepsilon}}$

La ley de Faraday en forma integral: $$ \oint_{\partial A} \vE \cdot d\vr + \ddt\int_A \vB\cdot d\vA = 0 $$ De este modo, $A$ es alguna superficie y $\partial A$ su límite. El límite puede dividirse en trayectorias parciales $\bigcup_k C_k = \partial A$ y la integral se convierte en $$ \sum_{k} \int_{C_k}\vE\cdot d \vr + \ddt\int_A \vB\cdot d\vA = 0 $$ Puede definir las caídas de tensión $V_k := \int_{C_k}\vE\cdot d\vr$ y la tensión inducida $V_i$ . De esta manera se obtiene la ley de voltaje de Kirchhoff $$ \sum_{k} V_k + V_i = 0. $$ La ley de Ampere dice $$ \oint_{\partial A} \vH\cdot d\vr = \int_A \vJ\cdot d \vA + \int_A \dot\vD\cdot d\vA. $$ Si elige una superficie cerrada $A$ entonces el límite $\partial A$ está vacía, la integral de la izquierda es cero y la ecuación para una superficie cerrada se convierte en $$ 0 = \oint_A \vJ\cdot d \vA + \oint_A \dot\vD\cdot d\vA $$ Diseccionamos la superficie en superficies parciales $A_k$ de secciones de conductores y una frontera parcial de un aislante $A_i$ . Las integrales correspondientes $I_k:=\int_{A_k}\vJ \cdot d\vA$ son las corrientes que atraviesan estos conductores. Además, tenemos las corrientes de transferencia de carga $I_{Ck}:=\int_{A_k}\dot\vD \cdot d\vA$ para los conductores y para el aislante $I_{i} := \int_{A_i}\dot \vD \cdot d\vA$ . Esto nos da la ley de la corriente de Kirchhoff $$ \sum_{k} I_k + \sum_{k} I_{Ck} + I_{i} = 0. $$

Si se incluyen las tensiones de inducción y las corrientes de carga de transferencia en KVL y KCL, estas leyes representan directamente las leyes de Faraday y Ampere. Estas magnitudes pueden modelarse a través de la inductancia y la capacitancia parásitas en el diagrama de red.

Los campos $\vE$ , $\vJ$ , $\vD$ , $\vH$ , $\vB$ de la solución exacta de las ecuaciones de Maxwell satisfacen la ley de Faraday y de Ampere para toda superficie lisa a trozos $A$ .

El modelado de redes puede interpretarse como una discretización de las ecuaciones de Maxwell. Mediante la selección finita de integrales de trayectoria e integrales de superficie, el número de grados de libertad y el número de ecuaciones se reducen de infinito para los campos vectoriales al número finito de variables de tensión y corriente y al número finito de ecuaciones de bucle y corte correspondientes.

Una discretización puede dar los resultados exactos si las relaciones V-I de los elementos finitos dan soluciones de campo exactas (como problemas de valor límite). Esto es (casi) posible con los circuitos de corriente continua.

Para aplicaciones de mayor frecuencia es necesario refinar la discretización. Una buena guía para la elección del ancho de discretización es la longitud de onda de las ondas electromagnéticas consideradas en el circuito. En la práctica, esto significa que hay que incluir más elementos parásitos en el modelo de red para frecuencias más altas.

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Poco a poco, espero entender lo que quiere decir con el "principio de integración". Creo que es útil ver cómo la relación de comportamiento de un elemento de la red se deriva de las ecuaciones de Maxwell y se integra en la teoría de la red.

Nota, en esta respuesta Acabo de derivar la relación V-I de una resistencia a partir de las ecuaciones de Maxwell. La relación V-I de un condensador se puede obtener de forma similar. Para el inductor se necesita la tensión inducida como se ha definido anteriormente.

En una amplia gama de aplicaciones, los campos pueden aproximarse como cuasi estacionarios. Con esta aproximación resulta que para muchas estructuras básicas la integral de trayectoria sobre la intensidad de campo, es decir, la caída de tensión está directamente relacionada con la integral de superficie sobre la densidad de corriente, es decir, la corriente. Este hecho y las ecuaciones anteriores para ciertas integrales de trayectoria sobre la intensidad de campo (KVL) y ciertas integrales de superficie sobre la densidad de corriente (KCL) se explotan en la teoría de redes.

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Obsérvese que la división de las tensiones en las integrales de trayectoria $V_k:=\int_{C_k} \vE\cdot d \vr$ y la tensión de inducción es sólo una forma de interpretación que tiene sus inconvenientes.

Para un caso con un campo magnético variable en el tiempo, la separación espacial sugerida por la fórmula $\sum_{k} V_k + V_i = 0$ no existe realmente.

Existe otro enfoque en el que la intensidad del campo $\vE$ se divide en una parte de Coulomb y una parte magnética. Lamentablemente, ya no conozco la referencia y aprendí estas cosas hace más de 10 años. Pero, si estás realmente interesado puedo intentar recuperarla (esto no es tan fácil y llevará su tiempo).

La idea es aplicar la conocida técnica de los potenciales vectoriales magnéticos $\vB=\rot \vA$ que resuelven la ecuación de divergencia $\div\vB=0$ . Como condición de calibración $\div\vA=0$ se utiliza en esta configuración.

La ley de Faraday en forma diferencial dice entonces $$ \rot(\vE+\dot\vA) = 0 $$ que asegura en un dominio simplemente conectado la existencia de un potencial $\ph$ para el campo vectorial $\vE+\dot\vA$ es decir, $$ \begin{array}{rcl} \vE + \dot\vA &=& -\grad\ph\\ \vE &=& \underbrace{-\grad\ph}_{\vE_\rmC} \underbrace{-\dot\vA}_{\vE_\rmM} \end{array} $$ En esta fórmula $\vE_\rmC$ es la parte de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico y $\vE_\rmM$ es la parte magnética de la intensidad de campo.

La ley de voltaje de Kirchhoffs se mantiene entonces sin restricciones para las caídas de voltaje definidas con la parte de Coulomb de la intensidad de campo $V_k := \int_{C_k} \vE_\rmC \cdot d\vr$ .

Por ejemplo, en el caso de la permitividad constante $\eps$ la parte de Coulomb es la causa de las cargas espaciales: $$\begin{array}{rl} \rho &= \div \vD\\ & = \div \eps (\vE_\rmC - \dot\vA)\\ & = \eps \div \vE_\rmC - \eps\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\div\vA}_{=0}\\ &= \eps \div \vE_\rmC \end{array}$$ A continuación, se pueden obtener las relaciones V-I de los elementos de la red a partir de la parte de Coulomb y la parte magnética de las tensiones y las corrientes.

Este enfoque respeta que la parte de Coulomb y la parte magnética coexisten en todas partes del circuito.

Pero aún no he visto este enfoque en la práctica.