Encontrar raíces de$\sin(x)=\sin(ax)$ sin recurrir a análisis complejos

Question

Si te han dado una ecuación $\sin(x)=\sin(ax)$ (es decir $a$ es un número natural), ¿cómo ir sobre la búsqueda de todas las raíces en $[0,2\pi)$ sin profundizar en los números complejos?

A partir de un simple análisis geométrico es obvio que la solución para $\pi-x=ax$ rendimiento 4 soluciones, y $x=0$ $x=\pi$ otro 2 soluciones obvias. De análisis complejo aunque sabemos que no puede ser de muchos raíces en este intervalo, dependiendo de la $a$. Es allí cualquier manera de encontrar todas estas raíces utilizando sólo técnicas de análisis real?

Answer 1

$$\sin(x) - \sin(ax) = 2\sin(\frac{x-ax}{2})\cos(\frac{x+ax}{2}) = 0 $ $ Esta identidad no es difícil de probar.

Resolviendo$\frac{x-ax}{2} = {\pi}n$ y$\frac{x+ax}{2} = \frac {\pi}{2} + \pi{n}$ para que

$$x=\frac{2\pi{n}}{1-a} , \frac{2\pi{n} + \pi}{1+a}$$ for $ a \ neq 1, -1$. The case $ a = 1$ is trivial, and $ a = -1% }$ yields solutions whenever $ \ Sin $ es una función extraña.

Answer 2

$\sin(x) = \sin(ax)\iff x=ax[2\pi]\; \text{or}\; x=\pi-ax[2\pi]\iff \exists k,k'\in \mathbb Z, x=\frac{2k\pi}{1-a} \; \text{or}\; x=\frac{(2k'+1)\pi}{1+a}$

Answer 3

Su problema es equivalente a encontrar las raíces de $T_a(x)-x$ $T_a(x)+x$ donde $T_a$ $a$th orden de polinomio de Chebychev.

Cuadrado cada lado (obtención de soluciones candidatas) para obtener

$$1-\cos^2(x) = 1-\cos^2(ax),$$ que es equivalente a $\cos^2(x)=T_a(\cos(x))^2$ desde $cos(ax)=T_a(\cos(x))$ por entero $a$. Esto significa que las soluciones a $$T_a(\cos(x))\pm \cos(x) = 0$$ son soluciones candidatas.

Los polinomios de Chebychev puede ser definido de forma iterativa. Para calcular las soluciones reales que podemos usar el método de Newton.