Manipulaciones Infinite Series

Question

Hay alguna lista completa (libros, online, ...) de las reglas para la manipulación de la serie infinita (sumas parciales) para encontrar la convergencia de la suma? A menudo los autores usan algún "truco" para calcular una serie infinita. Siguiendo este truco es siempre un descargo de responsabilidad, tales como "la adición de secuencias infinitas no es la misma como la adición de los valores discretos por lo que la costumbre reglas del álgebra no va a funcionar."

Eh? Entonces, ¿cómo se supone que voy a aprender lo que puede y no puede hacer cuando lo único que han demostrado es un truco que funciona en un caso en particular? Por ejemplo,

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\rightarrow S_{n}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\\ &=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{n(n+1)}\\\ &=\; \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\\ &=(1-\not\frac{1}{2})+(\not\frac{1}{2}-\not\frac{1}{3})+(\not\frac{1}{3}-\not\frac{1}{4})+\cdots+(\not\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\\ &=1-\frac{1}{n+1}\rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1-0=1. \end{align*} OK, veo que el autor utiliza fracciones parciales de expansión seguido por agrupación de términos similares. Sin embargo, en otro lugar voy a encontrar que la agrupación de términos similares se llevará a la respuesta equivocada. Tal es el caso con esta suma infinita:

$$ S_{n}=1-1+1-1+1+\cdots \stackrel{?}{\Longrightarrow} (1-1)+(1-1)+\cdots=0 $$ $$ S_{n}=1-1+1-1+1+\cdots\stackrel{?}{\Longrightarrow} 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1 $$ ...Así que esto no significa de series infinitas no son asociativos? O son ellos? ¿Cuáles son las propiedades invariantes de una serie infinita que puede ser utilizado con confianza a la hora de manipular una serie infinita?

SEGUIMIENTO: Gracias por las buenas respuestas hasta ahora, sin embargo, que me han llevado a cuestionar la viabilidad de la escritura en forma de suma. No es más útil para simplemente escribir la suma infinita como su correspondiente infinita suma parcial de la secuencia?

E. g.: ¿Por qué es la serie de fourier escrita como una suma infinita? Me doy cuenta de que puede ser utilizado para crear un continuo analógico para muchos tipos de funciones discontinuas, y sin embargo, siento que voy a ganar nada cuando yo escribir la serie de fourier decir, una solución a una ecuación diferencial parcial, porque Nose cómo evaluar la salida para una entrada en particular desde su definidos por una infinita suma de pecado y cosenos. (Además de encontrar la suma parcial de la secuencia), que no hay una manera más directa?

Answer 1

Serie infinita intervenidas matemáticos y pensadores durante un largo tiempo. Usted puede leer un poco acerca de Zeno Paradojas, especialmente, la dicotomía de la paradoja.

Supongo que preguntas importantes fueron

1. ¿Por qué una cantidad infinita de cantidades de positivos, ser finito?
2. ¿Cómo podemos assingn una suma de una cantidad infinita de números, y a un divergentes de la serie?
3. Hacer el conocido aritmética de trabajo para la serie infinita?
4. Si la suma es finita, ¿cómo podemos encontrar el valor exacto de la suma?
5. ¿El orden de la suma de la materia?

Muchas de las preguntas fueron contestadas, y algunos de los criterios establecidos tales como

1. Lo que una serie infinita.
2. Convergencia y divergencia de una serie. D'Alabert, Cauchy, Raabe, Kummer y Gauss proporciona varios métodos para resolver esto.
3. El concepto de convergencia absoluta y convergencia condicional
4. La convergencia uniforme de una serie de funciones.
5. La suma de alterna de la serie.

Usted encontrará especialmente útil para leer acerca de la condicional y aboslute convergencia: básicamente, si una serie es absolutamente convergente, se puede manipular con el ordinario de la aritmética, pero si es condicionalmente convergente, podemos hacer que se suma a cualquier número que queremos, o lo hacen divergir hasta el infinito. Para una divergente la serie, la aritmética normal falla, básicamente, porque estamos pensando en el infinito como un número, cuando no es uno. Por ejemplo, supongamos $S$ denotar la suma infinita:

$$S = 1+2+4+8+\cdots$$

Podemos notar que

$$S = 1+2(1+2+4+\cdots)$$

que es

$$S = 1+2S$$

lo que significa que

$$-S = 1 $$ o

$$S=-1 \text{ (!)}$$

En el sentido habitual de la aritmética y el álgebra, si estamos sumando una cantidad infinita de números positivos, nos gustaría, al menos, esperar que la suma a ser positivo, pero si se aplican las reglas habituales de la aritmética, nos encontramos en realidad $-1$. ¿Qué nos dice esto?

1. $\infty$ no es un número.
2. Si queremos hacer sumas como $S$ significado, debemos desarrollar una nueva teoría infinitas sumas divergentes.