¿Cuáles son los summands directos en$\mathbb{Z}^n$?

Question

Estoy interesado en saber el rango de $k$ submódulos de la $\mathbb{Z}$-módulo de $\mathbb{Z}^n$, que es también directa sumandos.

Sé que $\mathbb{Z}^k$ sentado en $\mathbb{Z}^n$ en la forma estándar, es decir, $(z_1, \dots, z_k) \mapsto (z_1, \dots, z_k, 0, \dots, 0)$ es uno de esos sumando. Así, si miro en todas las diferentes formas en que $\mathbb{Z}^k$ está incrustado en $\mathbb{Z}^n$ le que me dan todos los sumandos o habrá más?

Si es así, ¿cómo caracterizar todas las incrustaciones, es decir, inyectiva $\mathbb{Z}$-módulo homomorphisms de $\mathbb{Z}^k$ a $\mathbb{Z}^n$?

Gracias.

Answer 1

Deje $f:\mathbb Z^k\to\mathbb Z^n$ un inyectiva homomorphism. A continuación,$f(\mathbb Z^k)\simeq\mathbb Z^k$, por lo que la imagen de $f$ es gratis submódulo de rango $k$$\mathbb Z^n$. Esto demuestra que el problema nos pide

caracterizar la libre submódulos de rango $k$$\mathbb Z^n$.

Es bien sabido que si $F\subset\mathbb Z^n$ es gratis submódulo (de rango $k$) hay una base $\{e_1,\dots,e_n\}$ $\mathbb Z^n$ y algunos enteros positivos $d_1\mid\cdots\mid d_k$ (determinada únicamente por $F$) tal que $\{d_1e_1,\dots,d_ke_k\}$ es una base de $F$. Puesto que los vectores $e_1,\dots,e_n$ dar lugar a una invertible $n\times n$ matriz, decir $A$, la libre submódulo $F$ es "obtenido" por la multiplicación de dos matrices: la matriz diagonal $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_k,0,\dots,0)$$A$.

Answer 2

Incrustaciones

En primer lugar, observar que un homomorphism $T\colon\mathbb{Z}^k \to \mathbb{Z}^n$ es una incrustación si y sólo si los vectores $T(e_1),\ldots,T(e_k)$ son linealmente independientes. Por supuesto, puede haber diferentes transformaciones lineales $T\colon\mathbb{Z}^k\to\mathbb{Z}^n$ cuyas imágenes son las mismas, por lo que si queremos un listado de todo el rango de $k$ submódulos necesitamos un poco de la forma canónica para $T$.

La opción habitual es la forma normal de Hermite. Cada $k\times n$ matriz se puede poner en una determinada únicamente de Hermite forma normal utilizando entero fila de operaciones, y de las dos matrices tienen el mismo entero fila espacio (el entero espacio de las filas) si y sólo si su forma normal de Hermite son los mismos. Tenga en cuenta que un $k\times n$ matriz en forma normal de Hermite representa un rango de $k$ submódulo si y sólo si no tiene una fila de ceros.

Sumandos

No todo libre de rango $k$ submódulo de $\mathbb{Z}^n$ es un sumando. Para un ejemplo simple, $2\mathbb{Z}$ es un rango de-un submódulo de $\mathbb{Z}^1=\mathbb{Z}$, pero no es un sumando de a $\mathbb{Z}$. Más en general, un rango de uno submódulo $\mathbb{Z}v$ $\mathbb{Z}^n$ es un sumando directo si y sólo si las entradas de $v$ no tienen ningún factor común.

En general, si $M = \mathrm{im}(T)$ es un rango de $k$ submódulo de $\mathbb{Z}^n$ donde $T:\mathbb{Z}^k\to\mathbb{Z}^n$ es un homomorphism, a continuación, los siguientes son equivalentes:

1. $M$ es un sumando directo de $\mathbb{Z}^n$.

2. Hay un automorphism $A$ $\mathbb{Z}^n$ (es decir, un elemento de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$) tal que $AT$ es la inclusión canónica $\mathbb{Z}^k\to\mathbb{Z}^n$.

3. Para todos los $v\in\mathbb{Z}^n$ si $\lambda v\in M$ para algunos distinto de cero $\lambda \in\mathbb{Z}$,$v\in M$.

4. La diagonal de entradas de la forma normal de Smith para $T$ todos los $1$'s.

5. Existe una $k$-dimensiones subespacio $S$ $\mathbb{Q}^n$ tal que $M = \mathbb{Z}^n\cap S$.

Tenga en cuenta que el último de estos criterios da una buena manera de enumerar la lista de la categoría-$k$ sumandos de $\mathbb{Z}^n$: acabo de enumerar las $k$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb{Q}^n$, por ejemplo, con la reducción escalonada de más de $\mathbb{Q}$.