La geometría significado de mayor cohomology de poleas?

Question

Deje $X$ ser un algebraica proyectiva variedad, más de un algebraicas campo cerrado $k$. Deje $\mathcal{F}$ ser coherente gavilla en $X$. Sabemos que $H^0(X, \mathcal{F})$ es el espacio vectorial de los mundiales de secciones de $\mathcal{F}$. Esto nos da una ilustración geométrica de $H^0$. Por ejemplo, supongamos $I_D$ ser el ideal gavilla de una hipersuperficie $D$ grado $>1$ en un espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$, entonces es fácil ver que $$H^0(\mathbb{P}^n,I_D\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))=0.$$

De hecho, no hay ninguna hyperplane que contengan $D$, lo que significa que no hay ninguna sección global de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$, los cuales son hyperplanes, conteniendo $D$. Por lo tanto $H^0(\mathbb{P}^n, I_D\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))=0$. Sin embargo, mi primera pregunta es cómo entender la mayor cohomologies de poleas en formas geométricas. Las siguientes preguntas entonces:

1) ¿Cómo entender Serre la fuga teorema, es decir, hay una forma geométrica a pensar acerca de la desaparición de la $H^q(X, \mathcal{F}\otimes A^n)$ $n\gg1$ donde $\mathcal{F}$ es coherente y $A$ es suficiente.

2) ¿Cómo understan de Kodaira la fuga teorema de geometría.

Tal vez una pregunta concreta va a ayudar, decir $D$ una subvariedad de $\mathbb{P}^n$, de cómo determinar geométricamente si $H^0(\mathbb{P}^n, I_D\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))$ desaparece o no.

Answer 1

Vamos a empezar el camino de vuelta. La invención de los esquemas trasladó la geometría algebraica de pensar acerca de las variedades como objetos incrustados. Sin embargo, la incorporación de un esquema abstracto en el espacio proyectivo tiene un montón de ventajas, así que si podemos hacer eso, es útil. E incluso si no podemos incrustar nuestro esquema en el espacio proyectivo, pero podemos encontrar un no-trivial, mapa, que nos da una cierta manera de entender nuestro esquema abstracto. Con el fin de encontrar un no-trivial mapa necesitamos un paquete con las secciones.

Así que estamos interesados en encontrar secciones de varias poleas, pero principalmente de la línea de paquetes (y, por supuesto, de esto a veces tenemos que lidiar con otro tipo de poleas). Por lo tanto, estamos interesados en $H^0$.

Por otro lado, la informática, la $H^0$ no es trivial. No hay buenos métodos generales. Una razón para esto es que, por ejemplo, $H^0$ no es constante en las familias, o dicho de otra manera, no es la deformación invariante. Por otro lado, $\chi(X,\mathscr F)$ se comporta mucho mejor. Es constante en el plano de las familias y los si $\mathscr F$ es una línea de paquete, entonces es computable el uso de Riemann-Roch.

Entonces, si sabemos que $H^i=0$$i>0$, $H^0=\chi$ y estamos bien.

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Aquí es un ejemplo claro para un uso típico de Serre de fuga:

Ejemplo 1 Supongamos $X$ es un buen proyectivas de la variedad y de la $\mathscr L$ es una amplia línea de paquete en la $X$. Entonces sabemos que el $\mathscr L^{\otimes n}$ es muy amplio y $H^i(X, \mathscr L^{\otimes n})=0$$i>0$$n\gg 0$. A continuación, $\mathscr L^{\otimes n}$ induce una incrustación $X\hookrightarrow \mathbb P^N$ donde $N=\dim H^0(X,\mathscr L^{\otimes n})-1=\chi(X,\mathscr L^{\otimes n})-1$ por Serre de la fuga y, por tanto, $N$ ahora es computable por Riemann-Roch.

El único defecto de lo anterior es que, en general, no hay ninguna manera de saber lo $n\gg0$ realmente significa y por lo que es difícil conseguir cualquier explícita estimaciones numéricas de este. Aquí es donde Kodaira de fuga puede ayudar.

Ejemplo 2 En adición a lo anterior asume que el $\mathscr L=\omega_X$, o en otras palabras, supongamos que $X$ es un buen canónicamente polarizada variedad proyectiva. Hay muchos de estos, por ejemplo suaves curvas proyectivas de género, al menos, $2$ o todos los hypersurfaces satisfacer $\deg > \dim +2$. En particular, estos son aquellos de los que nos gusta tener un espacio de moduli. De todos modos, la manera de Kodaira de fuga cambios en el cálculo anterior es que ahora sabemos que ya $H^i(X,\omega_X^{\otimes n})=0$$i>0$$n>1$! En otras palabras, tan pronto como se sabe que $\omega_X^{\otimes n}$ es muy amplio y $n>1$, entonces podemos calcular la dimensión de la proyectiva del espacio en el que podemos integrar nuestro canónicamente polarizada variedades. De hecho, quizás más importante que la que podemos calcular, sabemos (de los anteriores) sin cálculo que este valor es constante en las familias. Así, una vez que tenemos un acotamiento resultado que dice que esto ocurre para cualquier $n\geq n_0$ para un determinado $n_0$, y Matsusaka del Gran Teorema dice exactamente eso, entonces sabemos que todos esos canónicamente polarizado suave variedades proyectivas (con un polinomio de Hilbert) puede ser embebido en $\mathbb P^N$, es decir, en el mismo espacio.

Esto implica que, a continuación, todas estas variedades se muestran en el correspondiente esquema de Hilbert de $\mathbb P^N$ y estamos en nuestro camino para la construcción de nuestro espacio de moduli.

Por supuesto, hay mucho más que hacer para terminar el conjunto de la construcción y también este método funciona en otras situaciones, así que esto es sólo un ejemplo.

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Hay una cosa más que uno podría pensar con respecto a tu pregunta, que es, pedir más abstracto pregunta:

"¿Qué mayor cohomology de poleas media (por ejemplo, geométricamente)?"

Esto es discutible, pero creo que la esencia de la mayor cohomology es que las medidas de la falta de algo que queremos fuera cierto todo el tiempo, pero no lo es. Más específicamente, si te dan una breve secuencia exacta de las poleas en $X$ $$ 0\a \mathscr F' \a \mathscr F \a \mathscr F" \0 $$ entonces sabemos que aunque $\mathscr F \to \mathscr F''$ es surjective, la inducida por el mapa en el mundial secciones $H^0(X,\mathscr F) \to H^0(X,\mathscr F'')$ no lo es. Sin embargo, la desaparición de la $H^1(X,\mathscr F')$ implica que para cualquier surjective mapa de poleas con kernel $\mathscr F'$ por encima de la inducida por el mapa mundial de las secciones es también surjective. Ya que usted ya tiene una interpretación geométrica de la $H^0$, esto le da a uno para $H^1$: medidas (o más precisel

Para una explicación más detallada de la misma idea de ver este MO respuesta.

En mi opinión la mejor manera de comprender superior ($>1$) cohomology es que es el menor cohomology de syzygies. En otras palabras, considerar la posibilidad de una gavilla $\mathscr F$ e incrustarlo en una acíclicos (por ejemplo, flasque o inyectiva o blando o suave) gavilla. Así se obtiene una corta secuencia exacta: $$ 0\a \mathscr F\a \mathscr Un\a \mathscr G \a 0 $$ Desde $\mathscr A$ es acíclico, tenemos que para $i>0$ $$ H^{i+1}(X,\mathscr F)\simeq H^i(X,\mathscr G), $$ así que si usted entiende lo $H^1$, $H^2$ $\mathscr F$ es sólo $H^1$$\mathscr G$, $H^3$ $\mathscr F$ es sólo $H^2$ $\mathscr G$ y así sucesivamente.

Answer 2

I) El más elemental, pero todavía bastante útil, el uso de una fuga teorema es a través de Riemann-Roch para una suave curva completa $X$ sobre el algebraicamente cerrado campo de $k$. Riemann-Roch para un divisor $D$ $X$ dice que $$h^0(X,L(D)-h^1(X, L(D)=1-g+deg (D)$$ [Aquí $g$=género de $X$, $h( )=dim_k H( )$]

Si $deg(D)>2g-2$, $H^1$ plazo desaparecerá y la fórmula precisa $dim L(D)=1-g+deg(D)$ cae: se le da el número de funciones racionales en $X$ con polos controlado por $D$.

II) En un nivel más avanzado con un impresionante uso de la desaparición de cohomology es Mumford m-regularidad. Una coherente gavilla $\mathcal F$ $\mathbb P_n(k)$ se dice es m-regular si $H^i(\mathbb P_n, \mathcal F(m-i)))=0$ todos los $i>0$ . Si usted encuentra esta definición extraño, no te preocupes: Mumford llama a sí mismo "al parecer tonto" (en su libro "Conferencias sobre Curvas en una Superficie Algebraica", Princeton university Press, 1966). Pero entonces él se muestra cómo utilizar este concepto para la construcción de esquemas de hilbert y la (re)derivar varios teoremas sobre superficies algebraicas (índice teorema, la integridad de la característica lineal del sistema).

III) Una aplicación que puede ayudarte a comprender y apreciar Kodaira la fuga es el teorema de uno de sus corolarios: Lefschetz "débil" teorema [ prueba en Griffiths-Harris, páginas 156-157].

Se dice, en esencia, que en un proyectiva colector $X$, una suave hipersuperficie $Y$ positivos asociados línea bundle $\mathcal O (Y)$ (por ejemplo, un suave hyperplane sección) tiene el mismo singular cohomology (con coeficientes en $\mathbb Q$) como en el ambiente del colector $X$, hasta el grado de $dim(Y)-1$ y más grande cohomology en grado $dim(Y)$ .

IV) etc.

Answer 3

Una manera de pensar acerca de la mayor cohomology grupos de, por ejemplo, holomorphic vector de paquetes es a través de la Dolbeault isomorfismo $$ H^q(X, \mathcal O(E)) \cong H^{0,q}(X,E) $$ (y también la más general $H^{q}(\mathcal O( \Lambda^pT^*X\otimes E)) \cong H^{p,q}(E)$.)

Si elegimos un Kähler métrica en X y Hermitian métrica en E, entonces Hodge teoría dice que cohomology está representado por la armónica de las formas. Así que podemos pensar en el q^th cohomology grupo de la gavilla de las secciones de E como el espacio de la armónica (0,q)-formas con valores en E.

Uno puede interpretar de Kodaira de fuga desde este punto de vista. Escoge un holomorphic línea paquete de L con un Hermitian métrica en un Kähler colector de X. Entonces uno tiene una conexión en L y un inducido de conexión en L valores de las formas. Esto le da un "rough" Laplaciano $\nabla^* \nabla$. El Weitzenbock fórmula nos dice cómo esto difiere de la estándar de Laplace. En a (p,q)-el formulario con los valores de L, $$ \Delta = \nabla^*\nabla + F $$ donde F es un endomorfismo de el paquete de $\Lambda^{p,q}\otimes L$ donde los L valores de las formas toman sus valores. F depende de (p,q) y en las métricas de tanto L y X.

La hipótesis de Kodaira de fuga es que hay una Hermitian métrica en L cuya curvatura es un Kahler forma. Si utilizamos esta métrica en L y también esta Kahler forma en X entonces el operador F tiene un cierto signo: cuando p+q>n, la dimensión de X, F es positiva definida endomorfismo del paquete $\Lambda^{p,q}\otimes L$. A partir de aquí podemos probar de Kodaira de fuga. Un armónico (p,q) formulario de $\alpha$ con valores en L ha $\Delta \alpha = 0$, por lo que, mediante la integración de la Weitzenbock fórmula contra la $\alpha$, vemos $$ \int |\nabla \alpha|^2 + \int (F(\alpha), \alpha) = 0 $$ Ahora la positividad de $F$ significa que ambos términos son no negativos y así deben desaparecer. Esto obliga a $\alpha$ a desaparecer y por lo $H^{p,q}(L)=0$ al $p+q >n$.