Cálculo del número de polinomios irreducibles sobre un campo finito

Question

Estoy tratando de encontrar el número de polinomios irreducibles de grado $n$$\mathbb{F}_p$. Aquí es lo que he hecho:

(1). Deje $K=\mathbb{F}_{p^n}$. Deje $M(n,p)$ el número de monic polinomios irreducibles de grado $n$$\mathbb{F}_p$.

(2). Cualquier raíz de un monic polinomio irreducible de grado $n$ es un elemento primitivo de $K|\mathbb{F}_p$. Por el contrario, cualquier elemento primitivo de $K|\mathbb{F}_p$ es una raíz de un monic polinomio irreducible de grado $n$. Por lo tanto, $$n\cdot M(n,p)=\text{ Number of primitive elements of }K|\mathbb{F}_p$$

(3). Pero sabemos que $K^{\times}$ es un grupo cíclico de orden $p^n-1$. Los elementos primitivos de $K|\mathbb{F}_p$ son precisamente los generadores del grupo cíclico $K^{\times}$. El número de este tipo de generadores se $\varphi(p^n-1)$.

(4). La combinación de (2) y (3) llegamos a la conclusión de que $$M(n,p)=\frac{\varphi(p^n-1)}{n}$$

(5). Cualquier polinomio irreducible de grado $n$ es una constante distinto de cero múltiples de un monic polinomio irreducible de grado $n$. El número de estas constantes es $p-1$. Por lo tanto, el número de tales polinomios es $$(p-1)\cdot M(n,p)=\frac{(p-1)\varphi(p^n-1)}{n}$$

Así que la respuesta final es $$\frac{(p-1)\varphi(p^n-1)}{n}$$

Pero mi respuesta no coincide con la forma habitual de resolver esta cuestión, que implica la Mobius inversión de la fórmula. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Primero de todo, muy bien-pregunta! lo que hace que sea mucho más fácil encontrar el más útil respuesta.

Parece que se están mezclando dos propiedades diferentes en uno:

• un "elemento primitivo" de un campo de extensión de la $L/K$, lo cual es un elemento $\alpha\in L$ tal que $L=K(\alpha)$;

• un "elemento primitivo" de un grupo cíclico, que es un generador del grupo.

Estos dos conceptos no se corresponden exactamente con cada uno de los otros.

Por ejemplo, considere el $\Bbb F_9$, que es un grado-2 extensión de $\Bbb F_3$. Hay 6 elementos de $\Bbb F_9$ que no están en $\Bbb F_3$, y cualquiera de ellos sirve como un elemento primitivo de la extensión de $\Bbb F_9/\Bbb F_3$ (en el primer sentido anterior). Por otro lado, el grupo multiplicativo $\Bbb F_9^\times$ es cíclico de orden 8, y por lo tanto ha $\phi(8)=4$ generadores; todos estos son elementos primitivos en el campo de la extensión de sentido, pero hay otros dos elementos primitivos que no son los generadores del grupo multiplicativo.

Podemos ser super concreto aquí. Escribir $\Bbb F_9$$\Bbb F_3[x]/\langle x^2+1\rangle$, válido desde $x^2+1$ es un título-2 polinomio irreducible sobre $\Bbb F_3$. Entonces los elementos de a $\Bbb F_9$ $a+bx$ donde $a,b\in\{0,1,2\}$, con la suma y la multiplicación se define como de costumbre para polinomios excepto que $x^2=-1=2$. En este campo, $x$ (o, más pedantically, la imagen de $x$ bajo el cociente mapa de$\Bbb F_3[x]$$\Bbb F_3[x]/\langle x^2+1\rangle$) es sin duda un elemento primitivo de la extensión de campo. Sin embargo, $x^4 = (x^2)^2 = 2^2 = 1$, y por lo $x$ no genera el grupo multiplicativo $\Bbb F_9^\times$.