(Esto no es un duplicado de otra pregunta acerca de las matemáticas.stackexchange, como que otra pregunta básicamente pide la respuesta a la siguiente pregunta, de la que me han dado una respuesta. Mi pregunta es diferente).
Whitney mostró que para los mapas de dos colectores en $\mathbb{R}^3$, una típica tapa de la cruz se ve como el mapa de $(x, y) \to (x, xy, y^2)$. Demostrar que esto es una inmersión excepto en el origen.
Calculamos el diferencial del mapa de $f(x, y) = (x, xy, y^2)$. Este es, precisamente,$$df = \begin{pmatrix} 1 & y & 0 \\ 0 & x & 2y\end{pmatrix}.$$We claim that this has maximal rank away from the origin. To see this, note that, if the second row is nonzero, then it will be linearly independent from the first row because it has zero in the first entry. Thus we simply need that $ x \neq 0$ or $2y \neq 0$, lo cual es cierto en todas partes excepto en el origen, como se reivindica.
Sin embargo, mi pregunta es, ¿qué hace la imagen del mapa de $f$? Tengo un mal momento con la visualización de este tipo de cosas...
