Ejemplo de desigualdad de Markov

Question

Si tengo $x_1, x_2,\ldots, x_n$ variables aleatorias Bernoulli independientes NO idénticamente distribuidas, ¿cómo lo demuestro? $$\mathrm{Pr}\left(\sum_{i=1}^nx_i>\beta\mu\right)\le e^{-g(\beta)\mu}$$

donde $$\beta>1$$$$ \mu=E\left(\sum_{i=1}^nx_i\right) $$$$g(\beta)=\beta\times \ln(\beta)-\beta+1$$ ? Creo que esto se puede lograr utilizando la desigualdad de Markov (porque eso es lo que hemos estado cubriendo), pero todavía no estoy seguro de cómo aplicarlo.

Answer 1

En la desigualdad de markov, Obsérvese que

$$P(\sum_{i=1}^n x_i > \beta \mu) = P(\beta^{\sum_{i=1}^n x_i} > \beta^{\beta \mu})$$

Aplique ahora la desigualdad de Markov al lado derecho para obtener

$$\leq \frac{E[\beta^{\sum_{i=1}^n x_i}]}{\beta^{\beta \mu}} = \frac{\prod_{i=1}^nE[\beta^{x_i}]}{\beta^{\beta \mu}}=\frac{\prod_{i=1}^nE[\beta^{x_i}]}{e^{(\beta \ln \beta) \mu}}$$

Ahora $E[\beta^{x_i}] = 1 + p_i(\beta-1)$ donde $p_i$ es la media de la variable aleatoria bernoulli i'th. Ahora se observa

$$\prod_{i=1}^nE[\beta^{x_i}] = \prod_{i=1}^n(1 + p_i(\beta-1)) \leq \prod_{i=1}^n e^{p_i(\beta-1)}$$ $$= e^{(\beta - 1)\sum_{i=1}^n p_i} = e^{(\beta - 1)\mu}$$

Si lo juntamos todo, obtenemos $$P(\sum_{i=1}^n x_i > \beta \mu) \leq e^{(-\beta \ln \beta +\beta -1)\mu} = e^{-g(\beta)\mu}$$

QED