Estoy leyendo la sección de Lang sobre la teoría de campos y destaca que, a diferencia de las típicas construcciones "universales" que se determinan hasta el isomorfismo único, los cierres algebraicos (y por extensión, sus grupos de Galois) se determinan sólo hasta el automorfismo (conjugación). Me parece que debería haber alguna interpretación de esto en términos de bicategorías (2-categorías débiles). Esta intuición está apoyada por el hecho de que las 2-células están dadas por conjugación cuando damos a Grp la estructura de una 2-categoría (ver los grupos como categorías de 1 objeto, obtener 2-células a través de transformaciones naturales). ¿Existe alguna interpretación de este tipo?
Respuesta
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Berci
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Puede ser una respuesta parcial a su pregunta:
En lugar de los funtores $\mathcal A\to\mathcal B$ podemos considerar profunctores $\mathcal F:\mathcal A^{op}\times\mathcal B\to\mathcal{Set}$ , lo mejor es tener en cuenta el collage de $\mathcal F$ que es una categoría que contiene (copia isomprfica de) $\mathcal A$ y $\mathcal B$ y el conjunto $\mathcal F(A,B)$ se considera el conjunto de (los llamados hetero -)morfismos de $A$ a $B$ .
Un profunctor es functorial si cada objeto $A\in\mathcal A$ tiene un reflexión en $\mathcal B$ (es decir, una flecha universal entre todos los $A\to\mathcal B$ flechas. Esto define un $\mathcal A\to\mathcal B$ functor, hasta el isomorfismo nat. . Dualmente, $\mathcal F$ es cofuncionario , si cada $B$ tiene un coreflection en $\mathcal A$ determinando un $\mathcal B\to\mathcal A$ functor. Adjunción significa exactamente ambas cosas.
Los funtores que surgen por propiedades universales son profunctores functoriales o cofunctoriales, más rigurosamente. Las categorías con profunctores y morfismos profunctoriales (ya sea una transformación natural entre $\mathcal A^{op}\times\mathcal B\to\mathcal{Set}$ funtores, o simplemente funtores entre sus collages, que actúan sobre $\mathcal A$ y $\mathcal B$ idénticamente) forman un bicategoría en lugar de una de 2 categorías, probablemente es lo que está buscando.
Para grupos $G,H$ visto como categorías, un profunctor entre ellas no es más que un biacute;n que consiste en dos acciones de grupo conmutativas sobre el mismo conjunto ( $\mathcal F(*_G,*_H)$ ), $G$ actúa desde la izquierda, $H$ actúa desde la derecha.
