Soluciones a la ecuación funcional $f(f(x))=x$

Question

¿Hay más soluciones para esta ecuación funcional $f(f(x))=x$ ?

Lo he encontrado: $f(x)=C-x$ y $f(x)=\frac{C}{x}$ .

Answer 1

Si no haces ninguna suposición de amabilidad sobre $f$ Hay muchos. Partición $\Bbb{R}$ (o lo que quieras $f$ ) en $1$ - y $2$ -subconjuntos de elementos, de la forma que se quiera. A continuación, defina $f(x)=y$ , si $\{x, y\}$ está en su partición, o $f(x)=x$ , si $\{x\}$ está en su partición.

Además, cualquier $f$ produce una partición de este tipo, en los conjuntos $\{x, f(x)\}$ . Así que esta es una descripción completa de todas las soluciones.

Por supuesto, $f$ será muy discontinua para la mayoría de las opciones de partición.

Answer 2

Esta respuesta sólo se refiere a los mapas continuos.

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Un mapa $f : X \to X$ tal que $f \circ f = \operatorname{id}_X$ se llama involución de $X$ . Dos involuciones de $X$ , $f$ y $g$ se dice que son equivalente si existe un auto-homeorfismo $h$ tal que $f\circ h = h\circ g$ (o escrito de otra manera, $f = h\circ g \circ h^{-1}$ ). Con esta terminología a nuestra disposición, podemos afirmar el siguiente resultado.

Toda involución no identitaria de $\mathbb{R}$ es equivalente a la involución $g(x) = -x$ .

Por lo tanto, $f$ es una involución de $\mathbb{R}$ si y sólo si $f = h\circ g\circ h^{-1}$ para algún homeomorfismo $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o $f = \operatorname{id}_X$ .

Por ejemplo, si dejamos que $f(x) = C - x$ entonces $f = h\circ g\circ h^{-1}$ donde $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es el homeomorfismo dado por $h(x) = x + \frac{C}{2}$ .

Answer 3

$f(x) = c-x$

$f(x) = c/x$

$f(x) = \frac{c_{1}-x}{c_{2}x+1}$

$f(x) = \frac{1}{2}\left ( \sqrt[]{{c_{1}^2}+c_{2}-4x^2} \right )+ c_{1}x$

$f(x) = \sqrt[3]{c-x^3}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28f%28x%29%29%3Dx

Answer 4

Cualquier función cuya gráfica es simétrica respecto a la recta y=x.

Answer 5

De hecho, esto pertenece a una ecuación funcional de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe/fe2315.pdf .

Dejemos que $\begin{cases}x=u(t)\\f=u(t+1)\end{cases}$ ,

Entonces $u(t+2)=u(t)$

$u(t)=\theta(t)$ , donde $\theta(t)$ es una función periódica arbitraria con período $2$

$\therefore\begin{cases}x=\theta(t)\\f=\theta(t+1)\end{cases}$ , donde $\theta(t)$ es una función periódica arbitraria con período $2$