¿Esta topología inducida es la topología del producto?

Question

Considerar los pares de $(A_i,a_i)$ donde $A_i$ es un conjunto y $a_i: U(A_i)\rightarrow A_i$ es una relación donde $U(A_i)$ se denota el conjunto de ultrafilters en $A_i$.

Ahora considere los espacios topológicos $(A_i,\tau_i)$ donde $\tau_i$ es la topología generada como sigue:

$U\in \tau_i \iff$ por cada $x\in U$ siempre $(\mathcal{F},x)\en a_i $ we have $U\in \mathcal{F}$ (here $\mathcal{F}$ es un ultrafilter en $A_i$). $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$

Ahora, considere el par $(\Pi_{i\in I}A_i, a_p)$ donde $a_p: U(\Pi_{i\in I}A_i)\rightarrow \Pi_{i\in I}A_i$ es una relación entre ultrafilters en el producto y el producto en sí mismo (como antes).

Supongamos que la relación se $a_p$ se describe como sigue:

$$\big(\mathcal{F},(x_i)_{i\in I}\big)\in a_p \iff ({\pi_i}_*(\mathcal{F}),x_i) \in a_i \text{ for every } i\in I$$

Aquí ${\pi_i}_*(\mathcal{F}) = \{X\subseteq A_i: \pi_i^{-1}(X)\in\mathcal{F}\} $ como de costumbre donde $\mathcal{F}$ es un ultrafilter en el producto.

Pregunta: es la topología generada por $a_p$ $\Pi_{i\in I}A_i$ (mediante la caracterización de abrir establece en $(*)$ en el bloque naranja) el producto de la topología?

Antecedentes: la razón por la que esta sospecha es que si $\tau$ es el producto de la topología en $\Pi_{i\in I}A_i$, debido a que ultrafilter de convergencia en el sentido topológico cumple la misma relación como $a_p$.

Answer 1

No. Por ejemplo, supongamos $a_i$ ser el vacío de la relación para todos los $i$. A continuación, $\tau_i$ es la topología discreta, y $a_p$ es también el vacío de la relación (asumiendo $I$ es no vacío) de modo que induce la topología discreta así. Pero el producto de la topología en $\prod A_i$ no es la topología discreta como siempre que cada uno de $A_i$ es no vacío e infinitamente muchas de las $A_i$ tiene más de un punto.

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Para un ejemplo en donde la principal ultrafilters convergen a los puntos correspondientes, vamos a $A$ ser un conjunto infinito y elegir dos elementos distintos $s,t\in A$ y un nonprincipal ultrafilter $\mathcal{G}$$A$. Definir una relación $a:U(A)\to A$ diciendo $(\mathcal{F},x)\in a$ fib $\mathcal{F}$ es el principal ultrafilter en $x$ o $\mathcal{F}\neq\mathcal{G}$ es nonprincipal y $x=s$ o$\mathcal{F}=\mathcal{G}$$x=t$. Tenga en cuenta que si $U$ es cualquier conjunto abierto que contiene a $s$ en la inducción de la topología, a continuación, $U$ es cofinite (ya que si $U$ es coinfinite, usted puede elegir un nonprincipal ultrafilter $\mathcal{F}\neq\mathcal{G}$ que contiene $A\setminus U$$(\mathcal{F},s)\in a$). En particular, se sigue que, con respecto a la inducida por la topología, la ultrafilter $\mathcal{G}$ converge a ambos $s$$t$, por lo que la inducida por la topología no es Hausdorff.

Ahora consideremos el producto de la relación de $a_p$$A\times A$. Afirmo que el conjunto de $\Delta=\{(x,x):x\in A\}$ es cerrado en la topología inducida por $a_p$. En efecto, supongamos $(x,y)\in U$ $\mathcal{F}$ es un ultrafilter en $A\times A$ tal que $\Delta\in\mathcal{F}$. Para cualquier $X\subseteq A$, $(X\times A)\cap \Delta=(A\times X)\cap\Delta$, y de ello se sigue que ${\pi_0}_*(\mathcal{F})={\pi_1}_*(\mathcal{F})$. Por lo tanto si $\mathcal{F}$ converge a $(x,y)$ según $a_p$, entonces el ultrafilter ${\pi_0}_*(\mathcal{F})={\pi_1}_*(\mathcal{F})$ converge a ambos $x$ $y$ según $a$. Ya no ultrafilter converge a dos puntos diferentes de acuerdo a $a$, esto significa $x=y$, lo $(x,y)\in\Delta$. Por lo tanto $\Delta$ es cerrado en la topología inducida por $a_p$. Sin embargo, $\Delta$ no está cerrado en la topología producto desde la topología en $A$ no es Hausdorff.