¿Está hecho el conjunto de Cantor de puntos finales de intervalos?

Question

El conjunto de Cantor está cerrado, por lo que su complemento es abierto. Por lo tanto, el complemento se puede escribir como una unión numerable de intervalos abiertos disjuntos. ¿Por qué no podemos simplemente enumerar todos los puntos finales de los intervalos contables y concluir que el conjunto de Cantor es numerable?

Answer 1

Porque el conjunto de Cantor incluye números que no son los extremos de ningún intervalo eliminado. Por ejemplo, el número $\frac{1}{4}$ (0.02020202020... en ternario) pertenece al conjunto de Cantor, pero no es un extremo de ningún intervalo eliminado.

Answer 2

No puedes hacer eso porque un conjunto numerable puede tener un número infinito de puntos límite. Los puntos en el conjunto de Cantor son puntos límite de estos extremos.

Por ejemplo, los números reales son todos puntos límite de los números racionales. Si entre cada par de números reales hay un número racional, pero aún así no podemos establecer que los números reales son contables.

Answer 3

La razón por la que no funciona es que hay algunos puntos en el conjunto de Cantor que no son el punto final de ningún intervalo que se elimina durante la construcción del conjunto de Cantor. En la prueba que se sugiere en la pregunta, sería necesario demostrar que cada punto en el conjunto es uno de estos puntos finales, pero eso simplemente no es cierto. La prueba de que el conjunto de Cantor es incontable ya muestra que tiene que haber al menos un punto "no final", porque el conjunto de puntos finales es contable, como señala la pregunta anterior. De hecho, podemos dar un ejemplo específico: el número $1/4$ está en el conjunto de Cantor de tercios medios habitual, pero no es el punto final de ningún intervalo que se elimina, porque todos esos puntos finales son racionales cuyo denominador puede escribirse como una potencia de $3$.

Answer 4

Hay un par de formas adicionales de concluir que el conjunto de Cantor es incontable, las cuales puedes leer más sobre en la "Real Mathematical Analysis" 2da edición de Charles Pugh. Dado que los argumentos me aclararon mucho a mí, pensé que sería bueno ponerlos aquí para que otros los vean ya que no han sido mencionados anteriormente.

Aunque este teorema no da mucha intuición sobre los puntos incluidos en el conjunto de Cantor que lo hacen incontable, podemos usar el hecho de que todo espacio métrico completo, perfecto y no vacío es incontable, y mostrar que el conjunto de Cantor cumple con estos criterios para demostrar que es incontable.

Ahora, para una explicación más iluminadora que se relaciona con el argumento en base $3$, creamos una dirección para cada punto en el conjunto de Cantor que consiste en una cadena infinita de $0$'s y $2$'s que se determina de la siguiente manera.

Sabemos que $C=\bigcap_{n=1}^{\infty}C^n$ donde cada $C^n$ consiste en las $2^n$ subdivisiones de $[0,1]$ cada una de longitud $\frac{1}{3^n}$. Así que creamos un sistema de direcciones que indica a cuál de los $2^n$ subintervalos pertenece un punto dado $p$, donde la cadena hasta el $n$-ésimo dígito nos indicará el subintervalo específico en $C^n$. La idea general es que un $0$ indica pertenencia al subintervalo izquierdo después de la eliminación de la tercera parte central, mientras que un $2$ indica pertenencia al subintervalo derecho después de la eliminación de la tercera parte central de un intervalo dado de $C^n.

Consideremos el ejemplo con $p=\frac{1}{4}$. Sabemos que la primera división del intervalo $[0,1]$ en $C^1$ consiste en los dos subintervalos $C_0=[0, \frac{1}{3}]$ y $C_2=[\frac{2}{3}, 1]$, y que $\frac{1}{4}\in[0, \frac{1}{3}]$. Por lo tanto, el primer número de la cadena de dirección para $\frac{1}{4}$ es un $0.

Ahora, para $C^2$, sabemos que esto consiste en $4$ subintervalos de $[0,1]$, a saber $C_{00}=[0, \frac{1}{9}]$, $C_{02}=[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}]$, $C_{20}=[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}]$ y $C_{22}=[\frac{8}{9},1]$. Sabemos que $\frac{2}{9}<\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$, tenemos que $\frac{1}{4}\in C_{02}=[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}]$, lo que hace que nuestra dirección para $\frac{1}{4}$ sea $02....". Continuando con $C^3$, $C^4$, ... obtenemos una cadena de dirección infinita para $\frac{1}{4}.

Se puede demostrar que el conjunto de todas estas cadenas de dirección infinitas es incontable, y está en bijección con el conjunto de Cantor. Según la hipótesis del continuo, cualquier subconjunto incontable de $\mathbb{R}$ tiene una cardinalidad igual a $\mathbb{R}$. Por lo tanto, el conjunto de Cantor es incontable.

Answer 5

Solo porque los intervalos abiertos se acercan a un número, no significa que el número sea el punto final de uno de los intervalos. Considera:

$$D_1= \bigcup\limits_{\substack{n~\in~\mathbb{N},~n~\text{impar} \\}} \left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right). $$

Esto se ve así:

$$$$ A continuación, sea $$D_2= \bigcup\limits_{\substack{n~\in~\mathbb{N},~n~\text{impar} \\}} \left(\frac{-1}{n}, \frac{-1}{n+1}\right). $$

Esto se ve así:

Ahora sea $D = D_1 \cup D_2.\ $ Entonces $0 \in D^c\ $ y $0$ es un punto límite de $D^c$. Pero $0$ no es el punto final de ninguno de los intervalos en $D$. Lo mismo ocurre con los miembros del conjunto de Cantor- la mayoría de los miembros del conjunto de Cantor, resulta.

Solo porque los intervalos "se acercan" a $0\ $ no hace que $0$ sea un punto final de uno de los intervalos.