¿Laplace, Legendre, Fourier, Hankel, Mellin, Hilbert, Borel, Z...: unificado tratamiento de transformaciones?

Question

Entiendo que "transformar los métodos de" como recetas, pero más allá de esto, ellos son un gran misterio para mí.

Hay dos aspectos de ellos me parece desconcertante.

Uno es la pura multiplicidad de tales transformaciones. Hay un marco unificado que incluye todas estas transformaciones como casos especiales?

La segunda es heurístico: lo que llevaría a alguien a descubrir tal transformación en el curso de la solución de un problema?

(Mi esperanza es encontrar un tratamiento unificado de la asignatura que aborda simultáneamente ambas de estas preguntas.)

Answer 1

La idea esencial de muchos transforma es cambiar la base en el espacio de funciones con la esperanza de que en la nueva base, el problema se simplifica.

Permítanme darles un finito-dimensional ejemplo. Supongamos que tenemos un $2\times2$ matriz $A$ y queremos calcular $A^{1000}$. Enfoque directo, no sería muy sabio. Sin embargo, si lo primero que diagonalize $$ $PA_dP^{-1}$ (es decir, gire la base por $P$), el cálculo es mucho más fácil: la respuesta es dada por $PA_d^{1000}P^{-1}$ y la informática de los poderes de la diagonal de la matriz es una tarea muy sencilla.

Un análogo de dimensiones infinitas ejemplo sería la solución de la ecuación del calor $u_t=u_{xx}$ el uso de la transformada de Fourier de $u(x,t)\rightarrow \hat{u}(\omega t)$. El punto es que en la base de Fourier el operador $\partial_{xx}$ se convierte en diagonal: simplemente se multiplica $\hat{u}(\omega t)$ $- \omega^2$. Por lo tanto, en la nueva base, nuestros parcial diferencial de la ecuación se simplifica y se convierte en ordinario de la ecuación diferencial.

En general, la existencia de una transformación adaptado a un determinado problema está relacionado con su simetría. Las nuevas funciones de base son elegidos para ser funciones propias de la simetría de los generadores. Por ejemplo, en los PDE, por ejemplo, hemos tenido simetría de traslación con el generador de $T=-i\partial_x$. De la misma manera, por ejemplo, Mellin de transformación está relacionada con la ampliación de la simetría, etc.

Answer 2

Hay varias maneras en que uno puede encontrar conexiones entre la transformada de Fourier, Laplace, Z, Mellin, Legendre, et al se transforma.

La razón es para cambiar la representación de un problema (e.g la ecuación diferencial) con el fin de simplificar y resolver más fácil.

Por ejemplo, como se dijo antes, la mayoría de las transformaciones de las que provienen directamente de intentar resolver específicos de Sturm-Liouville problemas (e.g Fourier, Laplace, etc..) lo que en este sentido las diferentes condiciones del problema especificar una transformación para su uso.

Otra forma de adquirir una visión unificada de las transformaciones es pensar como una transformación que cambia con respecto al cambio de la base del dominio del problema. Por ejemplo, el Mellin de transformación puede ser visto como la transformada de Fourier al hacer un cambio de variables de $x \a log(y)$. La transformada de Laplace puede ser visto como la transformada de Fourier en una línea en lugar de en un círculo por medio del cambio de las variables $i\omega \s$ o $e^{i\omega} \e^s$

Para las aplicaciones de la transformada en Z puede ser visto como el (discreta) de la transformada de Fourier al cambiar las variables $e^{i\omega} \z$

La transformación de Legendre puede ser visto como la transformada de Fourier en un idempotente semiring en lugar de un anillo de

Aparte de eso, la mayoría se transforma directamente geométrica significado y también un grupo de teoría de significado y caracterización

Integral Se Transforma

Teorema de Parseval para las transformadas de Fourier y de Legendre se Transforma

Answer 3

La cosa más cercana a una teoría general que lleva a MUCHOS de los anteriores (aunque no todos) es de Sturm–Liouville teoría. Básicamente, muchas de estas transformaciones se han producido desde el estudio de los fenómenos físicos a través de ecuaciones diferenciales lineales, donde, como respuestas anteriores han señalado que en específico se transforma diagonalize el operador diferencial. Resulta que MUCHOS de los fenómenos físicos de interés obedecer segundo orden ecuaciones diferenciales de Sturm-Liouville tipo. La misma lógica se aplica realmente para otras ecuaciones diferenciales (o ecuaciones de diferencia en el caso de la z-transform). Una vez que sepa qué funciones fundamentalmente de resolver una ecuación diferencial lineal, desea realizar más funciones que resolver el problema mediante una integral o suma más de estas soluciones fundamentales; esta idea conduce a muchos de la transformación anterior. Espectral de la teoría de los operadores y las ideas de Hilbert espacios generalizar esto para mayor orden de los operadores. Cada uno de estos ecuación tipos naturalmente aparecen en los modelos de la física del mundo. Voy a esbozar algunas de las ecuaciones diferenciales quiero decir, los asociados a transformar, y el físico aplicaciones en las que se produjo.

1. Lineal de coeficientes constantes ecuaciones diferenciales ordinarias con cero las condiciones de contorno antes de t=0. La función $e^{st}$ resuelve estos para algunos valores de $s$. Superponer estos conduce a la transformada de Laplace. Mellin es estrechamente relacionados. Modelo de ecuaciones de la cinemática, circuitos.

2. Lineal de coeficientes constantes ecuaciones diferenciales ordinarias o Pde en dominios no acotados. Ondas planas $e^{jkr}$ en múltiples dimensiones resolver estos para un continuum de $k$ valores. Superponer estos conduce a la (multidimensional) la transformada de Fourier. En delimitada dominios de algunos de estas dimensiones se reducen a sumas en lugar de las integrales. En cierta simetría cilíndrica que las soluciones son de Bessel y de Hankel funciones, que se reduce a la de Hankel de transformación. Modelo de ecuaciones de onda mecánica, conducción de calor, la teoría potencial, etc.

3. Lineal de coeficientes constantes ecuaciones de diferencia en la variable $n$. La función $z^n de$ va a resolver estas ecuaciones para algunos en particular los valores de a $z$. Superponer estos conduce a la z transformar. Lineal de las recurrencias aparecen en las matemáticas de las secuencias y la serie, filtros digitales, generación de funciones de probabilidad.

Algunos de los métodos que se mencionan no son de esta familia de la que surge naturalmente de ecuaciones diferenciales, es decir, la de Legendre y de Hilbert. Hilbert tiene una forma similar de un lineal de transformación integral, y podría ser considerado unificada con el resto. La transformación de Legendre es algo completamente diferente sin embargo.