Suma de los inversos de los números con divisores de $n$.

Question

Que $d(n)$ sea el número de divisores de un número natural $n$. Definir la suma $S(n)$ $ $$\sum_{d(k)=n}\frac1k$

Sabemos que $S(1)=1$, $S(2)$ diverge porque es la suma de los inversos de los números primos y $$S(3)=\sum_{d(k)=3}\frac1k<\sum_{j=1}^\infty\frac1{j^2}$ $ $S(3)$ converge.

¿Se sabe para qué valores de $n$ $S(n)$ convergen?

EDITAR:

Si $n$ es impar, entonces, puesto que solo los cuadrados perfectos tiene un número impar de divisores, $$S(n)<\sum_{j=1}\frac1{j^2}$ $

Sospecho que la suma difiere si es $n$.

Answer 1

Converge iff $n$ es impar. Si $d(k)$ es impar, entonces $k$ es un cuadrado y la suma es $<\sum1/r^2$.

Si $n=2m$, toma cualquier número $s$ $d(s)=m$. Entonces para todos sino finito muchos primos $p$, $d(ps)=n$. Así obtenemos la suma $\ge \sum_{p>p_0}1/(ps)$ que diverge.