Cero en cero sistema necesitan no ser cero sistema

Question

Un subconjunto $A$ a de un espacio topológico $X$ es llamado cero establecer si $A=f^{-1}(0)$ para algunos continua de la función $f:X\to\mathbb{R}$ o, equivalentemente, para algunos continua $f:X\to[0,1]$.

¿Cuál sería un ejemplo de un cero-set $M$, en un espacio de $X$ que no es un cero-set $A$ en el subespacio $M$ que no es un cero en $X$ ?

Engelking ejercicio 2.1.B pide a a encontrar un ejemplo de con $X$ Tychonoff (= completamente regular Hausdorff).

Puedo ver que no hay ejemplo de ello puede existir con $X$ normal. En efecto, supongamos $A$ es un cero en $M$. Podemos encontrar una continua $r:M\to[0,1]$$A=r^{-1}(1)$. Por el Tietze-Urysohn teorema, $r$ se puede extender a una función continua $g:X\to[0,1]$. Aquí es donde la normalidad de $X$ entra en juego. Luego, debido a que $M$ es un cero en $X$ podemos encontrar una continua $h:X\to[0,1]$$M=h^{-1}(1)$. El producto $f=gh$ es exactamente lo que necesitamos: $f(x)$ es igual a $1$ exactamente cuando ambos $g(x)$$h(x)$$1$, es decir, cuando se $x\in M$$r(x)=1$, que es exactamente cuando $x\in A$. (Reemplace $f$ $1-f$ al final si quieres una adecuada cero-set.)

Answer 1

Considerar el plano de Moore (o, como Engelking, el Niemytzki plano). Que es el conjunto $\mathbb{L} = \{ \langle x,y\rangle \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : y \geq 0 \}$ con la "tangente disco" topología. Tenga en cuenta que el $x$eje $M = \{ \langle x , 0 \rangle : x \in \mathbb{R} \}$ es un ajuste a cero en $\mathbb{L}$. (Considere la función $f( x,y) = \frac{y}{y+1}$, por ejemplo).

Como $\mathbb{L}$ es separable, hay en la mayoría de las $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ funciones continuas $\mathbb{L} \to [0,1]$, por lo que en la mayoría de los $\mathfrak{c}$-muchas cero pone en $\mathbb{L}$. (Cualquier función continua $\mathbb{L} \to [0,1]$ está determinado por su restricción a un contable subconjunto denso, y hay $\mathfrak{c}^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$ muchas de las funciones de una contables establecidos en $[0,1]$.)

Sin embargo $M$ es un subespacio discreto de $\mathbb{L}$. Esto significa que cada función $M \to [0,1]$ es continua, y para cada subconjunto de $M$ es un ajuste a cero en $M$. Es decir, no se $2^{|M|} = 2^\mathfrak{c}$ muchas cero pone en $M$.

Como $2^\mathfrak{c} > \mathfrak{c}$ se sigue que algunos (más) ajuste a cero en $M$ no es un ajuste a cero en $\mathbb{L}$.

Para un ejemplo claro, se puede utilizar una Categoría de Baire argumento para demostrar que $A = \{ \langle x,0 \rangle : x \in \mathbb{Q} \} \subseteq M \subseteq \mathbb{L}$ es un ajuste a cero en el ajuste a cero de la $M$ que no es un ajuste a cero en $\mathbb{L}$.

• Si $f : \mathbb{L} \to [0,1]$ es continua, y $f(\mathbf{x}) > 0$ todos los $\mathbf{x} \in \mathbb{L} \setminus A$, entonces para cada irracionales $x \in \mathbb{R}$ hay $n_x, m_x \in \mathbb{N}$ tal que $f( \langle u,v \rangle ) > \frac{1}{n_x}$ todos los $\langle u,v \rangle \in V_{\frac{1}{m_x}} ( \langle x,0 \rangle)$, donde para $r > 0$ $V_r ( \langle x,0 \rangle ) = \{ \langle x,0 \rangle \} \cup \{ \langle u,v \rangle \in \mathbb{L} : ( u-x)^2 + (v-r)^2 < r^2 \}$. Por la Categoría de Baire Teorema de allí se $n,m \in \mathbb{N}$ $a < b \in \mathbb{R}$ de manera tal que el cierre del set $E = \{ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : n_x = n, m_x = m \}$ (en la topología usual en $\mathbb{R}$) incluye $(a,b)$. Dado cualquier racional $x^\prime \in (a,b)$ se puede demostrar que para cada una de las $r > 0$ hay un $x \in E \cap (a,b)$ tal que $V_r ( \langle x^\prime,0 \rangle ) \cap V_{\frac{1}{m}} ( \langle x,0 \rangle ) \neq \emptyset$. Por la continuidad y las definiciones de todo lo involucrado — esto implica que $f( \langle x^\prime , 0 \rangle ) \geq \frac{1}{n}$. Por lo tanto $A$ no es el ajuste a cero de $f$.