Demostrar que la ecuación $x^3+y^3+z^3-(x^2z+y^2x+z^2y)=2$ no tiene solución en números naturales

Question

Me pregunté qué primos $p$ puede escribirse como $p=x^3+y^3+z^3-(x^2z+y^2x+z^2y)$ con $x,y,z \in \mathbb{N}$ . Pero para $p \neq 2$ tenemos la solución $x=y=\frac{p-1}{2}$ y $z=\frac{p+1}{2}$ . Así que la única prima para la que no puedo encontrar una solución es $p=2$ . Pero no puedo probar que no hay una solución. ¿Alguna idea?

Answer 1

EDIT: Tienes razón stackExchangeUser; mi prueba no funciona. Con una táctica similar, todavía podemos salvar esto: \begin{align*} &x^3 + y^3 + z^3 - (x^2 z + y^2 x + z^2 y) \\ = ~ &(x + y + z)^3 - 4(x^2 z + y^2 x + z^2 y) - 3(x^2y + y^2 z + z^2 x) - 6xyz \end{align*} Por lo tanto, estamos resolviendo, $$(x + y + z)^3 = 2 + 4(x^2 z + y^2 x + z^2 y) + 3(x^2y + y^2 z + z^2 x) + 6xyz$$ Supongamos primero que el lado izquierdo es divisible por $2$ . De nuevo, al menos uno de $x, y, z$ debe ser uniforme. Si todos son pares, vemos que el lado izquierdo es $0$ mod $8$ pero el lado derecho es $2$ mod $8$ . Por lo tanto, exactamente uno debe ser par. Pero entonces, el $3(x^2y + y^2 z + z^2 x)$ término es impar, lo que hace que el lado derecho sea impar, y volvemos a tener una contradicción.

Por lo tanto, el lado izquierdo es impar. Del mismo modo, o bien todo $x, y, z$ son Impares, o exactamente uno lo es. Si exactamente uno de ellos es impar, entonces el lado derecho es par, por lo que todos $x, y, z$ son impar.

Por último, teniendo en cuenta la formulación original, y el hecho de que $x^2 \equiv 1$ mod $8$ para todos los impar $x$ obtenemos,

$$x^3 + y^3 + z^3 - (x^2 z + y^2 x + z^2 y) \equiv x + y + z - (z + x + y) \equiv 0$$

mod $8$ que no puede ser igual a $2$ .