Encontrar al general serie de Taylor de una función

Question

Tengo que encontrar la expansión general de la serie Taylor, $0$, de la siguiente función.

$$ \sqrt{x^4 -6x^2+1} $$

He intentado utilizar la identidad

$$ \left(1+t\right)^{1/2} = \sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^{n+1}}{4^n (2n-1)} \binom{2n}{n}t^n $$.

y entonces el substituto para $t$ en consecuencia, pero sin éxito, ya que la expresión resultante se convierte en sucia.

Cualquier ayuda será apreciada.

Gracias.

Answer 1

Oh, sí, sustituyendo $t=-6x^2+x^4$ en el este y la "simplificación" se ve como un montón de diversión, de hecho. =D es broma. Recordemos la generación de la función de los polinomios de Legendre: $$\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum^\infty_{n=0}P_n(x)\,t^n.$$ Multiplying with $t-x$ gives $$\frac{t-x}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=-x+\sum^\infty_{n=1}[P_{n-1}(x)-x\,P_n(x)]\,t^n, \tag{1}$$ y la relación de recurrencia (http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html, (43)) da $$P_{n-1}(x)-x\,P_n(x)=(n+1)\frac{x\,P_n(x)-P_{n-1}(x)}n,$$ so integrating this from $0$ to $t$, obtenemos $$\sqrt{1-2xt+t^2}=1-xt+\sum^\infty_{n=2}\frac{x\,P_{n-1}(x)-P_n(x)}{n-1}t^n \tag{2}.$$ Substituting $x=3$ en (2), se llega a $$\sqrt{1-6t+t^2}=1-3t+\sum^\infty_{n=2}\frac{3\,P_{n-1}(3)-P_n(3)}{n-1}t^n \tag{3}.$$ For the final result, we substitute $t=z^2$ para obtener $$\sqrt{1-6z^2+z^4}=1-3z^2+\sum^\infty_{n=2}\frac{3\,P_{n-1}(3)-P_n(3)}{n-1}z^{2n}.$$ BTW, $P_n(3)$ es siempre un número entero, porque (http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html, (33)) $$P_n(3)=\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}^2 2^k.$$ Los coeficientes en (3) parece ser enteros, demasiado, al menos eso es lo que los resultados numéricos sugieren (http://swift.sandbox.bluemix.net/#/repl/597d0432c3917c7502ddfa97).

Answer 2

sugerencia

Poner $t=x^4-6x^2$.

comprobamos cuando $x\to 0, \;\; t $ va también a cero.

así que podemos utilizar la expansión de $$\sqrt {1+t}=1+t/2+.... $ $ donde reemplazamos $t $ $x^4-6x^2$.

y $$t^n=x^{2n}\sum_{k=0}^n\binom {n}{k}x^{2k}(-6)^{n-k} $ $

Sustituto en las sumas y obtienes

$$\sqrt{x^4-6x^2+1}=\sum_{n=0}^\infty a_{2n}x^{2n}$$

donde

$$a_{2n}=\sum_{k=0}^n\binom{1/2}{n-k}\binom{n-k}k(-6)^{n-k}$$

Answer 3

Mantenerlo simple, $|x|<1$

$\sqrt{1+x}=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{x^3}{16}+O(x^4)$

Enchufe $x\to x^4-6 x^2$ y get $$\sqrt{1+ x^4-6 x^2}= \dfrac{1}{16} \left(x^4-6 x^2\right)^3-\dfrac{1}{8} \left(x^4-6 x^2\right)^2+\dfrac{1}{2} \left(x^4-6 x^2\right)+1=\\=1 - 3 x^2 - 4 x^4 - 12 x^6+O(x^7)$ $ la serie inicial tenía $4$ términos y así será el segundo de ellos. Los términos son mal, te dejo imaginar la razón por qué. Si usted necesita más términos para la segunda que debe utilizar más términos en la serie original.

Todo esto siempre $|x^4-6x^2|<1$ $$-\sqrt{3+\sqrt{10}}<x<-1-\sqrt{2}\lor 1-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}-1\lor 1+\sqrt{2}<x<\sqrt{3+\sqrt{10}}$ $