Normalmente en teoría de la probabilidad, para una variable aleatoria cuyo valor está en $\mathbb{R}$ hablamos de su función de distribución acumulativa $F(x)$ y luego su densidad $f(x)$ , en casos suficientemente buenos $F'(x)=f(x)$ .
Esa es la configuración con la que estoy familiarizado, por eso me molestaba cuando los físicos hablaban de "densidades" no normalizadas. Por ejemplo, si la densidad probabilística de la posición de una partícula en $\mathbb{R}$ es igual a 1 en todas partes, lo que significa que tiene la misma probabilidad de aparecer en todas partes. De forma más general, se puede imaginar que hablan de una función no negativa $f(x)$ siendo la densidad de algo con la densidad $f(x)$ no es integrable en $\mathbb{R}$ pero localmente integrable, es decir $\int_{[a,b]}f(x)dx$ tiene sentido para $a\leq b, a, b\in\mathbb{R}$ . En $\int_{\mathbb{R}}f(x)dx$ no está definido ( $=\infty$ ), no se puede dividir por él para normalizar.
¿Hay alguna forma matemática de dar sentido a estas afirmaciones? Hay una que tengo en mente, a saber, se puede hablar de la densidad de alguna variable aleatoria $X$ hasta un múltiplo escalar, tal que para cualquier intervalo $[a,b]\subset [c,d]$ podemos expresar la probabilidad condicional como un cociente de integrales:
$$P(X\in[a,b] \big| X\in[c,d])=\dfrac{\int_{[a,b]}f(x)dx}{\int_{[c,d]}f(x)dx}.$$
Sólo conozco una teoría de la probabilidad muy básica, así que no sé si esto tiene sentido. ¿Puedo interpretar así las funciones de densidad probabilística no normalizadas? ¿Es esto lo que quieren decir los físicos? ¿O hay otras interpretaciones? ¿Tengo que preocuparme de algo más cuando pienso en las cosas de esta manera?
