Una propiedad de la resultante

Question

Dejemos que $A$ ser un dominio. Hay un problema en Lorenzini Una invitación a la geometría aritmética que establece que si $f,g\in A[y]$ , entonces podemos encontrar $u,v\in A[y]$ con $\deg u<\deg g$ y $\deg v<\deg f$ s.t.

$$uf+vg = \textrm{Res}(f,g).$$

¿Hay una manera fácil de ver esto?

Answer 1

Supongamos que $f$ tiene grado $m$ y $g$ tiene grado $n$ , digamos que $$ f = a_0y^m + a_1y^{m-1} + \cdots + a_m$$ $$g = b_0y^n + b_1y^{n-1}+ \cdots + b_n$$ Entonces la resultante de $f$ y $g$ es el determinante del $(n + m)\times (n+m)$ Matriz de Sylvester:

$$Res(f,g) = \det \left(\begin{matrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_m & 0 &\cdots & 0\\ 0 & a_0 & a_1 & \cdots & a_m &\cdots & 0\\ & & & \ddots\\ 0 & \cdots & 0 & a_0 & a_1 &\cdots & a_m \\ b_0 & b_1 &\cdots & b_n &0 &\cdots & 0\\ 0 &b_0 &b_1&\cdots & b_n &\cdots & 0\\ & & & \ddots\\ 0 & \cdots & 0 & b_0 & b_1 & \cdots &b_n \end{matrix}\right).$$ Para facilitar la notación, dejemos que $A$ denota esta matriz. Nótese que $$A\left(\begin{matrix} y^{n+m-1}\\ y^{n+m-2}\\\vdots\\ y\\ 1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}y^{n-1}f\\ y^{n-2} f\\\vdots\\ yf\\f\\y^{m-1}g\\y^{m-2}g\\\vdots\\yg\\ g\end{matrix}\right).$$ Si $B$ es el matriz adjunta de $A$ Es decir, $BA = \det(A)\,Id = Res(f,g)\,Id$ y multiplicando ambos lados de esta igualdad a la izquierda por $B$ da $$ Res(f,g)\left(\begin{matrix} y^{n+m-1}\\ y^{n+m-2}\\\vdots\\ y\\ 1\end{matrix}\right) = B \left(\begin{matrix}y^{n-1}f\\ y^{n-2} f\\\vdots\\ yf\\f\\y^{m-1}g\\y^{m-2}g\\\vdots\\yg\\ g\end{matrix}\right).$$ Si nos fijamos en particular en la fila inferior de esta igualdad, se obtiene una expresión de la forma $$Res(f,g) = uf + vg,$$ como se desee.

Answer 2

Lo fácil que sea esto puede depender de cómo se defina la resultante. Un hecho clave es que si $f = q g + r$ para los polinomios $q$ y $r$ con $\deg(r) \le \deg(f)$ entonces $\text{Res}(f,g) = a^{\text{deg}(f)-\text{deg}(r)} \text{Res}(r,g)$ donde $a$ es el coeficiente principal de $g$ .