Encontrar el % integral $\int_0^1 \frac{x^a - 1}{\log x} dx$

Question

Cómo hacer la integral siguiente:

¿$$\int_{0}^1 \dfrac{x^a-1}{\log(x)}dx$ $ donde $a \geq 0$?

Se pregunta por un amigo y no podía pensar en cualquier sustitución que funciona. Enchufar un = 2, 3, etcetera en Wolfram, obtener valores como $\log(a+1)$, que puede ser la respuesta correcta (para general $a$). ¿Hay una forma sencilla de calcular esta integral?

Answer 1

Llame a su integral $I(a)$. Entonces $ I'(a) = \int_0^1 x ^ un dx = \frac{1}{a+1} $$ tanto como $a \geq 0$. Ahora tienes que resolver la ecuación diferencial $$ I'(a) = \frac{1}{a + 1}.$ $ esto es una ecuación diferencial muy fácil de resolver, y la solución es % $ $$ I(a) = \log(a+1) + C $donde $C$ es algo constante. Ahora nos preguntamos, ¿qué es eso constante? Observe $$ I(0) = \int_0^1 \frac{1 - 1}{\log x} dx = 0,$ $ necesitamos %#% $ #% o más bien $$ I(0) = \log(1) + C = 0,$. Por lo que concluimos que \int_0^1 \frac{x^a $$ - 1} {\log x} dx = \log(a + 1), $$ como usted sugiere. $C = 0$

Answer 2

Podemos utilizar $$ \int_0^1x^t\,\mathrm{d}t=\frac{x-1}{\log(x)} $$ combinada con la de sustitución $x\mapsto x^{1/a}$, para obtener $$\begin{align} \int_0^1\frac{x^a-1}{\log(x)}\,\mathrm{d}x &=\int_0^1\frac{x-1}{\log(x)}x^{\frac1a-1}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1\int_0^1x^{\frac1a-1}x^t\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1\int_0^1x^{\frac1a-1}x^t\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t\\ &=\int_0^1\frac1{\frac1a+t}\,\mathrm{d}t\\ &=\log\left(\frac1a+1\right)-\log\left(\frac1a\right)\\[9pt] &=\log(1+a) \end {Alinee el} $$

Answer 3

Un par de posibilidades:

1. El cambio de las variables para $x=e^{-y}$, $dx = -e^{-y} \, dy$, por lo que la integral se convierte en $$ \int_0^{\infty} \frac{e^{-y}-e^{-(1+a)y}}{y} \, dy. $$ Este es un Frullani integral, por lo que el valor es $$ (1-0)\log{(1+a)/1} = \log{(1+a)}. $$

2. Diferenciar bajo el signo integral. No voy a ir a través de éste, ya que alguien más llegó primero.

3. Hacer la sustitución de 1., pero integrar por partes: $$ I(a) = \left[ (e^{-y}-e^{-(1+a)y})\log{y} \right] + \int_0^{\infty} e^{-y}\log{y} \, dy - (1+a)\int_0^{\infty} e^{-(1+a)y} \log{y} \, dy, $$ El primer término es cero debido a que el soporte es$O(y)$$0$. Cambio de variables a $u=(1+a)y$ en la última integral. Se convierte en $$ -\int_0^{\infty} e^{-u} (\log{u}-\log{(1+a)} \, dy = -\int_0^{\infty} e^{-y}\log{y} \, dy + \log{(1+a)} $$, y luego el resto de las integrales de cancelar y se obtiene el resultado.

Answer 4

Tenemos $x^a-1 = e^{a\log(x)}-1$. Por lo tanto, la integral es\begin{align} I & = \int_0^1 \dfrac{x^a-1}{\log(x)}dx = \int_0^1 \left(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{a^k \log^k(x)}{k!}\right)\dfrac{dx}{\log(x)} = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{a^k}{k!} \int_0^1 \log^{k-1}(x)dx\\ & = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{a^k}{k!} (-1)^{k-1} (k-1)! = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}a^k}k = \log(1+a) \end {Alinee el}