Secuencia exacta corta tensoring ser exacta para todos los módulos finitamente presentados implica puro exacto (sin límite directo prueba)

Question

Una breve secuencia exacta de $R-$módulos de $0\to A\to B\to C\to 0$ es pura exacta si la secuencia resultado de cualquier $R-$módulo tensoring la breve secuencia exacta siendo exacta.

Este es un 3.42 problema en Rotman, álgebra Homológica.

La pregunta es para demostrar que si por cualquier finitely presentó $R-$módulo $M$, $0\to M\otimes A\to M\otimes B\to M\otimes C\to 0$ es exacta, entonces $0\to A\to B\to C\to 0$ es pura exacta(es decir, $C$ es plana).

Sugerencia del problema dice: Que un elemento se encuentra en $Ker(M\otimes A\to M\otimes B)$ implica sólo un número finito de elementos de $A$. Creo que esta sugerencia se utiliza para probar la otra dirección.

Está claro que uno sólo debe mostrar la inyectividad se mantiene intacta. La siguiente es lo que yo hice.

Suponga $0\to A\to B\to C\to 0$ no es pura exacta. Así que debemos tener un $R-$módulo de $M$ tal que $M\otimes A\to M\otimes B$ no es inyectiva. Ahora podemos reducir $M$ a finitely generado submódulo considerando un elemento $\sum_i m_i\otimes a_i$ $M\otimes A$ ser enviado a 0 puesto que este elemento es solamente una determinada combinación de elementos de $M$$A$. Considere la posibilidad de $0\to K\to F\to M\to 0$ secuencia exacta donde $M$ es finitely generado, $F$ es finito rango libre de módulo de e $K$ es el módulo generado por las relaciones en $M$. Definir $K_0=(0)$, tomar cualquier elemento $k_1$$K-K_0$. Definir $K_1=(k_1)$. Definir $K_i=(K_{i-1},k_{i-1})$ tomando cualquier elemento $k_{i-1}$$K_i-K_{i-1}$. Así que claramente tenemos una cadena de $K_0\subset K_1\dots\subset K$.

Uno también obtener una cadena de mapas como bien $F/K_0\to F/K_1\to\dots F/K$ y el mapa está claramente definido. Incluso he conjunto finito de $m_i$$\sum_i m_i\otimes a_i=0\in M\otimes B$.

No está claro que yo sólo puede imponer un número finito de relaciones(es decir, es suficiente con considerar uno de $F/K_i$ donde $i$ es lo suficientemente grande como para contener toda la información pertinente).

Por favor, dame una prueba directa sin límite o incluso mencionar directa límite.

Answer 1

Hay una pequeña prueba que se basa en dos hechos fundamentales:

• Cada $R$-módulo está dirigido colimit de finitely presentado módulos
• Dirigido colimits son exactas

(dirigida colimits son llamados a veces directo de los límites)

Por lo tanto, la escritura de un arbitrario módulo de $M$ dirigido colimit

$$ M = \operatorname{colim}_j M_j $$

tenemos un sistema dirigido de secuencias exactas

$$ 0 \to M_j \otimes A \to M_j \otimes B \to M_j \otimes C \to 0 $$

y tomando la colimit da una secuencia exacta

$$ 0 \to M \otimes A \to M \otimes B \to M \otimes C \to 0 $$

---

La prueba de que usted está considerando es, creo, básicamente la repetición de partes de la prueba de estos dos hechos clave. Creo que la clave de la idea que domina es que usted no necesita recoger a su $K_i$ a preservar toda la información pertinente — en su lugar, para cada elemento que desee probar cero en $M \otimes A$, usted sólo tiene que tomar las específicas relaciones necesarias para calcular específicos elemento es cero. Su elección de $k_i$ debe ser adaptado específicamente para ese cálculo, en lugar de ser arbitrarias decisiones.