probar $f(z)=cz^n$ para algunos $c$ .

Question

Si $f$ está completo y $|f|=1$ en $|z|=1$ entonces $f(z)=cz^n$ para algunos $c$ .

Primero considere $g(z)=f(z)/\prod(z-a_i)/(1-\overline{a_i}z)$ donde $a_i$ son ceros de $f(z)$ .

Entonces quiero aplicar el teorema del módulo máximo y mínimo para argumentar que todos $a_i$ son cero. ¿Pero qué debo hacer? ¿Tengo que demostrar primero que $g(z)$ es constante?

Answer 1

• Demostrar que $|g(z)|=1$ si $|z|=1$ y que $g$ nunca desaparece en el disco de la unidad.
• Aplicando el principio del módulo máximo a $g$ y $1/g$ conseguimos que $g(z)=c$ en el disco de la unidad, donde $|c|=1$ .
• Así que podemos escribir $f(z)=c\prod_{j=1}^n\frac{z-a_j}{1-\bar a_jz}$ y nos vemos reducidos a demostrar que $a_j=0$ para todos $j$ . Como $f$ se supone entera, tenemos que eliminar las singularidades en $\frac 1{\bar{a_j}}$ que tiene un módulo $>1$ . Estos no pueden ser cancelados a menos que $a_j=0$ .

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Tenga en cuenta que necesitamos el supuesto entero, de lo contrario, $f$ podría ser de la forma $f(z)=c\prod_{j=1}^n\frac{z-a_j}{1-\bar a_jz}$ donde $|a_j|<1$ pero no necesariamente igual a $0$ .