¿Encontrando raíces $p^\textrm{th}$ en $\mathbb{Q}_p$?

Question

Entonces supongamos que se nos da algún $a\in\mathbb{Z}_p^\times$ y queremos averiguar si $X^p-a$ tiene una raíz en $\mathbb{Q}_p$. Sabemos que tal raíz debe ser única, porque dado dos raíces $\alpha,\beta$ de este tipo, el cociente $\alpha/\beta$ necesitaría ser una raíz $p^\textrm{th}$ de la unidad no trivial y $\mathbb{Q}_p$ no contiene ninguna.

Ahora no podemos aplicar Hensel, que es lo que normalmente se hace al buscar raíces en $\mathbb{Q}_p$. ¿Qué otros enfoques están disponibles?

Answer 1

Sea $p$ un número primo impar. Entonces $\mathbb{Z}_p^{\times} \cong \mathbb{Z}/(p-1) \oplus \mathbb{Z}_p.$ El grupo de Sylow pro-$p$ de $\mathbb{Z}_p^{\times}$ es $1 + p\mathbb{Z}_p$ y es isomorfo (como grupo topológico) a $p\mathbb{Z}_p$ a través del logaritmo $p$-ádico. Dado que $1 + p^2\mathbb{Z}_p$ es un subgrupo cerrado de $1 + p\mathbb{Z}_p$ de índice $p$, debe ser el caso que $1 + p^2\mathbb{Z}_p$ sea la imagen inversa de $p^2\mathbb{Z}_p$ bajo el logaritmo. De ello se sigue

$$ 1 + p^2\mathbb{Z}_p = (1 + p\mathbb{Z}_p)^p.$$

Y por lo tanto,

$$(\mathbb{Z}_p^{\times})^p = \mu_{p-1}(1 + p^2\mathbb{Z}_p).$$

Ahora consideremos un elemento $x \in \mathbb{Q}_p^{\times}$ y recordemos que $x = ap^n$ para algún $a\in\mathbb{Z}_p^{\times}$ y $n\in\mathbb{Z}.$ Entonces $x$ tiene una raíz $p$-ésima en $\mathbb{Q}_p$ si y sólo si $a$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}_p^{\times}$ y $p|n.$

Por lo tanto,

$$(\mathbb{Q}_p^{\times})^p = \mathbb{Z}_p^{\times}\langle p^p \rangle = \mu_{p-1}(1 + p^2\mathbb{Z}_p)\langle p^p \rangle.$$

Ahora intenta responder la pregunta para $p =2.$

Answer 2

Dado que $a^p \equiv a\ ({\rm mod}\ p)$, podemos reemplazar $a$ por $a/a^p$ y considerar solo el caso $a \equiv 1 ({\rm mod}\ p)$. Ahora aún podemos usar el Lema de Hensel, solo que no en su forma trivial. Necesitamos la forma general que si podemos encontrar una aproximación con $|f(a_0)| < |f'(a_0)|^2$, entonces $f$ tiene una raíz. Ver el ejemplo en Wikipedia en el que se trabaja el caso $p=3$. En general, si $c \in \mathbb{Z}_p$ y $c \equiv 1 ({\rm mod}\ p)$, entonces $c$ tiene una raíz $p$-ésima en $\mathbb{Z}_p$ si y solo si tiene raíz $p$-ésima módulo $p^2$, excepto cuando $p=2$, donde hay que verificar módulo 8.

Answer 3

Tomemos $\alpha\equiv 1\mod p^2$. Entonces $\alpha = 1 + p^2\beta\in\mathbb{Z}_p$, donde $\beta\in\mathbb{Z}_p$. Lo que queremos hacer es que el lema de Hensel funcione para nosotros, después de cambiar un poco la ecuación. Tenemos $f(x) = x^p - \alpha = x^p - (1 + p^2\beta)$. Vemos que si $x$ debe ser una solución, debe cumplir $x\equiv 1\mod p$, entonces $x = 1 + py$ para algún $y\in\mathbb{Z}_p$. Ahora tenemos una nueva ecuación polinómica: $$ f(y) = (1 + py)^p - (1 + p^2\beta) = \sum_{i = 0}^p \begin{pmatrix} p \\ i\end{pmatrix}(py)^i - (1 + p^2\beta), $$ que se reduce a $$ f(y) = \sum_{i = 1}^p \begin{pmatrix} p \\ i\end{pmatrix}(py)^i - p^2\beta. $$ Siempre que $p\neq 2$, podemos igualarlo a cero y cancelar un $p^2$ de cada término, y obtenemos $$ 0 = p^2 y + \begin{pmatrix} p \\ 2\end{pmatrix}(py)^2 + \ldots + (py)^p - p^2\beta = y + \begin{pmatrix} p \\ 2\end{pmatrix} y^2 + \ldots + p^{p-2}y^p - \beta. $$ Módulo $p$, podemos resolver esta ecuación: $$ y + \begin{pmatrix} p \\ 2\end{pmatrix} y^2 + \ldots + p^{p-2}y^p - \beta \equiv y - \beta \equiv y - \beta_0\mod p, $$ donde $\beta = \beta_0 + \beta_1 p + \beta_2 p^2 + \ldots$ por $y = \beta_0$. Módulo $p$, nuestra derivada siempre es distinta de cero: $$ \frac{d}{dy}\left[y - \beta_0\right] \equiv 1\mod p, $$ así que podemos usar el lema de Hensel y elevar nuestra solución modificada módulo $p$ a una solución en $\mathbb{Q}_p$. Por lo tanto, si $\alpha\in 1 + p^2\mathbb{Z}_p$ y $p\neq 2$, existe una raíz $p$-ésima de $\alpha$ en $\mathbb{Q}_p$.