Gradiente de una función valorada Vector

Question

He leido por ahí, vector gradiente se define sólo para escalares valoradas funciones y no funciones valorada vector. Cuando el gradiente de un vector es definitivamente definido (correcto, derecho), ¿por qué es vector gradiente de una función valorada vector no definida? ¿Es mi entendimiento correcto? ¿No hay una contradicción?

Agradecería aclaración clara.

Gracias.

Answer 1

$\def\R{{\bf R}}$Es en parte una cuestión de nomenclatura. El gradiente se define con mayor frecuencia para campos escalares, pero la misma idea que existe para campos vectoriales - se llama el Jacobiano.

Tomando el gradiente de una función con valores vectoriales es perfectamente sensato. Usted simplemente no la suelen llamar el gradiente.

Una hermosa manera de pensar sobre el gradiente es como una función de orden superior (es decir, una función cuyos argumentos o valores de retorno son funciones). Específicamente, el gradiente de operador toma una función entre dos espacios vectoriales $U$$V$, y devuelve otra función que, cuando se evalúa a un punto en $U$, da un lineal mapa entre el$U$$V$.

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Podemos ver un ejemplo para la intuición. Considere la posibilidad de escalar el campo de $f:\R^2\to\R$ dada por

$$f(x,y) = x^2+y^2$$

El gradiente $g=\nabla f$ es la función en $\R^2$ dada por

$$g(x,y) = \left(2x, 2y\right)$$

Podemos interpretar $(2x,2y)$ como un elemento del espacio de lineal mapas de$\R^2$$\R$. Voy a denominar el espacio de $L(\R^2,\R)$.

Por lo tanto, $g=\nabla f$ es una función que toma un elemento de $\R^2$ y devuelve un elemento de $L(\R^2,\R)$. Esquemáticamente,

$$g: \R^2 \to L(\R^2 ,\R)$$

Esto significa que $\nabla$ debe ser interpretado como una función de orden superior

$$\nabla : (\R^2 \to \R) \to (\R^2 \to L(\R^2, \R))$$

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No hay nada especial acerca de la $\R^2$ $\R$ aquí. Las obras de construcción de cualquier espacios vectoriales $U$$V$, dando

$$\nabla : (U\to V) \to (U \to L(U,V))$$

Una buena referencia para este modo de pensar acerca de la gradiente es Spivak del libro de Cálculo en los Colectores.

Answer 2

Suficientemente seguro como un vector de valores de la función ${\bf f}$ puede tener un derivado, pero este derivado no tiene el "tipo" de un vector, a menos que el dominio o el rango de ${\bf f}$ es unidimensional. La configuración general es la siguiente: Dada una función $${\bf f}:\quad{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}^m,\qquad {\bf x}\mapsto {\bf y}={\bf f}({\bf x})$$ y un punto de ${\bf p}$ en el dominio de ${\bf f}$ la derivada de ${\bf f}$ ${\bf p}$ es lineal en el mapa de $d{\bf f}({\bf p})=:L$ que se asigna el espacio de la tangente $T_{\bf p}$ a el espacio de la tangente $T_{\bf q}$ donde ${\bf q}:={{\bf f}({\bf p})}$. La matriz de $L$ con respecto a las bases canónicas es el Jacobiano de ${\bf f}$ ${\bf p}$ y está dada por $$\bigl[L\bigr]=\left[{\partial y_i\over\partial x_k}\right]_{1\leq i\leq m,\ 1\leq k\leq n}\ .$$ Si $m=1$, es decir, si ${\bf f}$ es en un hecho de una función escalar, entonces la matriz $\bigl[L\bigr]$ sólo tiene una fila (de longitud $n$): $$\bigl[L\bigr]=\bigl[{\partial f\over\partial x_1} \ {\partial f\over\partial x_2}\ \ldots\ {\partial f\over\partial x_n}\bigr]_{\bf p}\ .$$ El $n$ las entradas de este uno-fila de la matriz puede ser visto como coordenadas de un vector que se llama el gradiente de $f$${\bf p}$.