Problema abierto en Geometría/Teoría de Números. La verdadera pregunta aquí es:
¿Existe una familia infinita de puntos en $y=x^2$ , para $x \geq 0$ ¿tal que la distancia entre cada par es racional?
La pregunta de "si no es infinito, ¿entonces cuántos?" se deduce si no existe ninguna familia infinita de puntos que satisfaga la hipótesis.
Tenemos que existe una (de hecho, infinitas) familias de tres puntos que satisfacen la hipótesis por el siguiente lema y prueba.
Lema 1: Existen infinitos conjuntos de distancia racional de tres puntos en $y=x^2$ .
La siguiente prueba es de Nate Dean.
Prueba. Dejemos que $S$ sea el conjunto de puntos de la parábola $y = x^2$ y que $d_1$ y $d_2$ sean dos valores racionales fijos. Para cualquier punto, $P_0(r)=(r, r^2) \in S$ , dejemos que $C_1(r)$ sea el círculo de radio $d_1$ centrado en $P_0(r)$ y que $C_2(r)$ sea el círculo de radio $d_2$ centrado en $P_0(r)$ . Cada uno de estos círculos debe intersecarse $S$ en al menos un punto. Sea $P_1(r)$ sea cualquier punto de $C_1(r) \cap S$ y del mismo modo, que $P_2(r)$ sea cualquier punto de $C_2(r) \cap S$ . Ahora dejemos que $dist(r)$ es igual a la distancia entre $P_1(r)$ y $P_2(r)$ . La función $dist(r)$ es una función continua de $r$ y por lo tanto hay infinitos valores de $r$ tal que $P_0(r)$ , $P_1(r)$ , y $P_2(r)$ están a una distancia racional. $ \blacksquare $
Esto demuestra básicamente que la colección de familias de tres puntos que tienen una distancia racional por pares en la parábola es densa en $S$ .
Garikai Campbell ha demostrado que existen infinitos conjuntos de distancia racional no cíclica de cuatro puntos en $y = x^2$ en el siguiente documento: http://www.ams.org/journals/mcom/2004-73-248/S0025-5718-03-01606-5/S0025-5718-03-01606-5.pdf
Sin embargo, que yo sepa, nadie ha presentado soluciones de 5 puntos, ni se ha demostrado que las soluciones de 5 puntos siquiera existan.
Pero sé que mucha gente no ha visto este problema. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo plantear una prueba del caso infinito o incluso sólo del caso de la solución de 5 puntos?
Editar: El lema anterior, así como el artículo de Garikai Campbell, hacen no incluyen la media parábola ( $x \geq 0$ ) restricción. Sin embargo, pensé que las técnicas que él empleó podrían ser análogas a las que nosotros podríamos utilizar para avanzar en la versión de la media parábola del problema.
