Generalización de Artin ' Teorema de s sobre la independencia de caracteres

Question

Artin del teorema dice que para cualquier campo $K$ y cualquier (semi) grupo $G$, el conjunto de homomorphisms de $G$ en el grupo multiplicativo $K^*$ es linealmente independiente sobre $K$.

Puede este teorema se pueden generalizar a dimensiones superiores? Es decir, hay una simple restricciones a poner en un conjunto (finito-dimensional) las representaciones de un dado (semi?) grupo $G$ fijo (algebraicamente cerrado?) campo de $K$ a fin de garantizar que sus personajes son linealmente independientes? Es natural suponer que las representaciones irreducibles (de lo contrario, obviamente, el carácter de $\pi$ $\pi\oplus \pi$ son linealmente dependientes, y éste se podría incluso llegar a ser $0$ si $\operatorname{char} K=2$), y en caso de $K=\bf C$ y finito grupo $G$ supongo irreductibilidad es suficiente por Schur la ortogonalidad (me imagino que esto también es cierto para algebraicamente cerrado $K$ de los característicos $0$ o lo suficientemente grande para un determinado $G$ por algún modelo teórico-argumento).

Esta pregunta surgió de la curiosidad sobre el teorema de como se afirma en un curso de álgebra conmutativa, y tengo poca o ninguna idea acerca de modular teoría de la representación, o incluso cualquier no-$\bf C$ teoría de la representación.

En resumen, hay un conocido teorema que generaliza del teorema de Artin, y si no, hay alguna razón por la que no existe (tal vez la razón de ser que es trivial desde algún punto de vista?)?

Answer 1

Bourbaki la generalización del teorema de Artin es como sigue:

Deje $L/K$ ser una extensión de campo y $A$ $K$- álgebra.
Entonces el conjunto $Alg_K(A,L)$ $K$- álgebra morfismos $A\to L$ es linealmente independiente en la $L$-espacio vectorial $\mathcal L_{K-lin}(A,L)$ $K$- lineal mapas de $A\to L$
(Y, sí, estos $K$-lineal mapas de $\mathcal L_{K-lin}(A,L)$ formulario $L$-espacio vectorial, aunque $A$ no $L$-espacio vectorial: esto es un poco confuso!)

Artin del teorema se obtiene mediante la elección de $A$ el grupo de álgebra $K[G]$, teniendo en $L=K$ y recordando el isomorfismo de $K$-espacios vectoriales $$\mathcal L_{K-lin}(K[G],K)\xrightarrow \cong K^G:u\mapsto (u(g))_{g\in G}$$ sending $Alg_K(K[G],K)$ to $Hom_{grupos}(G,K^*)=Char (G)$