Un ejercicio del libro de geometría riemanniana

Question

Si $M$ es un liso cerrado $n$ -de la región de Riemann que está incrustada en la región de Riemann $\mathbb R^{n+1}$ entonces existe un punto $p \in M$ tal que las curvaturas seccionales en $p$ son todos positivos.

¿Puede alguien darme una pista para este problema? Estaba considerando el máximo $p$ de la función $|x|^2$ en $M$ , entonces cerca de $p$ , $M$ está "envuelto" por algún $S^n$ y tiene el mismo espacio tangente que $S^n$ . Pero estoy atascado allí.

He hecho algunos progresos:

Consideramos las funciones $L_q(x)=|x-q|^2$ . Entonces tenemos un máximo $p$ de $L_q$ y fijamos el vector unitario $v=\frac{p-q}{|p-q|}$ en todo momento, por lo que $v$ es el vector normal en $p$ . Ahora bien, si establecemos $q(t)=p+tv$ entonces, cuando $t\leq-|p-q|$ , $p$ es siempre el máximo de la función $L_{q(t)}$ (esto es cierto si dibujamos una bola en $q(t)$ con radio $|p-q(t)|$ entonces todos $M$ está contenida en esta bola).

Por lo tanto, cuando $t$ tiende suficientemente a $-\infty$ el hessiano $L_{q(t)}$ es siempre semipositiva definida. Ahora bien, si fijamos una vecindad de coordenadas alrededor de $p$ entonces la matriz hessiana $H$ de $L_{q(t)}$ en $p$ viene dada por $H=2(F-tS)$ donde $F,S$ son las formas fundamentales primera y segunda de $M$ en $p$ . Así que concluimos que $S$ tiene que ser semipositiva definida.

Pero ¿cómo podemos ir más allá para decir $S$ es positiva definida?

Answer 1

Existe una función lineal $L:\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R$ tal que $L|_M$ tiene puntos críticos no degenerados (por el teorema de Sard). Si se elige un máximo de $L$ en $M$ entonces la segunda forma cuadrática en ese punto es positivamente definida, por lo que todas las curvaturas seccionales en ese punto son positivas.

editar (por qué la forma positiva del 2º fondo implica una curvatura positiva) :

si $K$ es la 2ª forma fundamental, entonces el tensor de curvatura viene dado por $$(R(u,v)u,v)=K(u,u)K(v,v)-K(u,v)^2$$ y si $u,v$ son linealmente independientes y $K$ es positivamente definida, entonces la RHS es positiva. Las curvaturas seccionales son el LHS si $(u,u)=(v,v)=1$ y $(u,v)=0$ .

Answer 2

Una forma de obtener la conexión Levi-Civita para submanifolds embebidos en $\mathbb{R}^{n+1}$ es tomar la derivada covariante de un campo vectorial con respecto a la conexión plana estándar en $\mathbb{R}^{n+1}$ y luego proyectar el vector resultante en el espacio tangente. De este modo, la derivada covariante de una curva que pasa por el punto de tangencia en la variedad coincide con la de la esfera. En consecuencia, también lo hace la curvatura de Riemann. (Estoy un poco confuso en este paso: ¿necesito que los campos vectoriales sean iguales en una vecindad, en lugar de sólo en un punto?) Así que en el punto de tangencia, las curvaturas seccionales del colector coinciden con las de la esfera.