Paquetes principales, formas de conexión y campos del vector fundamental

Question

Supongamos $\pi:P\rightarrow M$ es una de las principales paquete, $\omega\in \Omega^1(P;\mathfrak{g})$ es la conexión de una forma y $\sigma(\cdot)$ es la parte fundamental del campo de vectores asociado a algún campo de vectores en $\mathfrak{g}$. Es decir, para $X\in \mathfrak{g}$, el valor de $\sigma(X)$ $p\in P$ está dado por

$\begin{align*} \sigma(X)_p=\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}p\exp(tX). \end{align*}$

Estoy leyendo algunas notas de la conferencia en el momento y el autor se descompone un campo de vectores $u\in \mathfrak{X}(P)$ en sus componentes horizontal y vertical. Así

$u=u_v + u_h$.

A continuación, el autor toma la derivada $u_v f$ de alguna función $f$ definido en $P$. Ellos hacen que el argumento de que desde esta derivada en un punto de $p\in P$ sólo depende de los vectores $u_v$$p$, ellos asumen $u_v = \sigma(\omega(u))$. Entiendo la idea de la derivada únicamente en función de los vectores a $p$. Sin embargo, estoy atascado en la forma que puede asumir ese $u_v=\sigma(\omega(u))$. No entiendo cómo la $u_v$ $p$ es igual a$\sigma(\omega(u))$$p$. Si alguien podía ayudar a que sería muy apreciada. Gracias!

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EDITAR:

Muchas gracias por tu detallada respuesta. Tengo un par de preguntas

1) ¿por Qué has escrito que el mapa como $\rho_p$ en lugar de $L_p$? No es justo a la izquierda de la multiplicación? En esa nota, es kosher para definir a la izquierda de la multiplicación en $P$?

2)Es la razón por la $\sigma(X)_p=(\rho_p)_{*,e}X$

debido a $X=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\exp(tX)$,

así

$(\rho_p)_{*,e}X=(\rho_p)_{*,e}\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\exp(tX)=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}p\exp(tX)=\sigma(X)_p$??

3) ¿por Qué $R_g$ $\delta_g$ diffeomorphisms implican $\rho_p$ tiene rango constante? ¿Por qué ir al esfuerzo de la adición de $g$$g^{-1}$?

4) ¿por Qué dim$V_p$=dim$\mathfrak{g}$ implica que el mapa es surjective? Estoy pensando que es sólo algo de álgebra lineal que me estoy olvidando?

Gracias de nuevo!

Answer 1

Aquí está mi entendimiento (con más detalles de los necesarios) : El autor quiere demostrar una fórmula $F(u_vf)$ expresan el hecho de que el derivado $u_vf$ es igual a algo en $P$. Para mostrar que $F(u_vf)$ es válido en todos los de $P$, opta por hacer de ella un punto de $p \in P$ en un momento.

Así que, elige un punto de $p \in P$. Desde $(u_vf)(p)$ depende sólo del valor de $u_v$ en el punto de $p$, puede cambiar el valor de $u_v$ sin embargo que usted desea en otros puntos de $P$. Sólo tienes que tener en cuenta que los cálculos se hacen sólo será válida en el punto elegido $p \in P$. Pero entonces, si usted puede probar la fórmula en cualquier puntos arbitrarios $p \in P$, será cierto nivel mundial.

Ahora, para simplificar las expresiones, el autor elige para reemplazar a $u_v$ por fundamentales de un campo vectorial $u' = \sigma(X)$ ( $X \in \mathfrak{g}$ ) tal que $u_v|_p = u'|_p$. Como Eric O. Korman dice que, dado un vertical $u_v|_p \in T_pP$ siempre se puede encontrar una $X \in \mathfrak{g}$ tal que $\sigma(X)|_p = u_v|_p$, y usted termina con un campo de vectores $u' = \sigma(X)$ de la forma deseada, $u' = \sigma(\omega(u'))$ por la definición de propiedades de $\omega$.

La razón por la que podemos encontrar una $X$ no era obvio para mí, he aquí una manera de verlo: Para $p \in P$, se puede reescribir el mapa de $\mathfrak{g} \ni X \mapsto \sigma(X)|_p \in T_pP$ como el diferencial en la identidad de $e \in G$ de los map $\rho_p : G \to P$ definido por $\rho_p(g) = p.g$ cuando el punto es que la acción en la $P$. es decir,$\sigma(X)|_p = (\rho_p)_{*,e}(X)$. Pero por la reescritura de las cosas, podemos demostrar que $(\rho_p)_{*,e}$ da un isomorfismo entre el $\mathfrak{g}$ y el espacio $V_p$ verticales de los vectores de a $p$. Para ello, escriba $\delta_g : G \to G$ $R_g : P \to P$ para el diffeomorphisms $\delta_g(h) = hg^{-1}$$R_g(p) = p.g$. Para $$X_g = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\gamma(t) \en T_gG,$$ nos encontramos $$(\rho_p)_{*,g}(X_g) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}p.\gamma(t) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}p.\gamma(t) g^{-1}g = (R_g)_{*,p} \circ (\rho_p)_{*,e} \circ (\delta_g)_{*,g}(X_g).$$ Desde $R_g$ $\delta_g$ son diffeomorphisms, esto demuestra que $\rho_p : G \to P$ tiene rango constante. Pero dado que la acción de $G$ $P$ es gratis, $\rho_p$ es inyectiva y recordemos que un inyectiva mapa con constante rango es necesariamente una inmersión (para una acción de carácter general, nos gustaría mod cabo $G$ por el estabilizador en $p$ para conseguir una inmersión). En otras palabras, el mapa $$(\rho_p)_{*,e} : \mathfrak{g} \a T_pP$$ que es $(\rho_p)_{*,e}(X) = \sigma(X)|_p$ es un isomorfismo en su imagen, la cual está contenida en la vertical subespacio $V_p \subset T_pP$. Pero desde $\dim V_p = \dim G = \dim \mathfrak{g} < \infty$, este mapa es también surjective y, de hecho, $$(\rho_p)_{*,e} : \mathfrak{g} \a V_p$$ es un isomorfismo.

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EDITAR RESPONDER A SUS PREGUNTAS:

1) Así la acción en $P$ es por lo general en el derecho, por tanto $\rho$, pero es sólo una notación he visto en algún artículo de la Wikipedia. También desde $\rho_p$$G$$P$, realmente no es justo a la derecha de la multiplicación en $P$ o en $G$. Ver que el hilo http://mathoverflow.net/questions/50473/why-does-the-group-act-on-the-right-on-the-principal-bundle para una discusión de por qué la acción es por lo general en el derecho.

2) Sí, exactamente.

3) El hecho de que $R_g$ $\delta_g$ son diffeomorphims implica que su diferencial es un isomorfismo en cada punto. Por lo tanto, ya $(\rho_p)_{*,g} = (R_g)_{*,p} \circ (\rho_p)_{*,e} \circ (\delta_g)_{*,g}$, el rango de $(\rho_p)_{*,g}$ es constante y es igual al rango de $(\rho_p)_{*,e}$ cualquier $g \in G$. De hecho, la adición de $g$ $g^{-1}$ y la reescritura de lo que nos permiten ver que el diferencial de $\rho_p$ en cualquier elemento $g \in G$ es "conjugado" para el mismo mapa $(\rho_p)_{*,e}$, de ahí que lineal propiedades invariantes bajo composición con isomorphisms de $(\rho_p)_{*,g}$ (al igual que su rango) no dependen de $g$.

4) Sí es sólo el hecho de que un inyectiva lineal mapa de $f : W_1 \to W_2$ entre dos espacios vectoriales de la misma (finito) dimensión es también surjective.

Answer 2

Es verdad que el $u_v(p) = \sigma(\omega(u_p))_p$. Esto es porque desde $u_v(p)$ es vertical, es igual a $\sigma(X)_p$ $X\in \mathfrak g$. $X = \omega(\sigma(X)_p) = \omega(u_v(p))$.