10 aves de la etiqueta y luego liberarlas en la naturaleza. Decido coger los pájaros hasta que pillo 10 aves que yo todavía no he etiquetado. Si pillo 12 aves, ¿qué es una estimación para el número total de aves en la naturaleza?
Mi suposición preliminar es 10/2 * 12 = 60 aves, pero tengo un sentimiento más complicado que eso.
Este proceso que usted describe es muy similar a la de captura y Recaptura Técnica. En el habitual de captura y recaptura técnica, sin embargo, retomamos un determinado número de animales en la muestra sin respecto a lo que tenemos actualmente de la pesca (I. e. no hay que esperar hasta que cogemos un 10 sin etiquetar).
El concepto se basa en la idea intuitiva de que el porcentaje de etiquetado de la población debe reflejar el porcentaje de etiquetado de la muestra y viceversa. Esto nos da la fórmula en el ejemplo:
$\frac{\text{recaptured tagged}}{\text{recaptured total}} \approx \frac{\text{total tagged}}{\text{total population}}$. Conectar en valores: $\frac{2}{12} \approx \frac{10}{N}$
La solución para $N$ anterior, obtenemos como lo has adivinado $12\cdot 10/2 = 60 \approx N$
La dificultad en su ejemplo, sin embargo, es que hemos querido parar después de haber encontrado nuestro décimo sin etiquetar animal. Esto complica demasiado las cosas, sin embargo. Voy a seguir pensando en cómo incorporar esta información en una respuesta, sin embargo me encontré con dificultades en mis anteriores intentos de llegar a una solución a través de definir explícitamente una distribución de probabilidad conjunta para las variables aleatorias (num capturados, y el tamaño de la población). Tal vez alguien más capaz que voy a venir alrededor de y más complicado responder a esta versión, pero por ahora voy a dormir en el pensamiento.
Deje $X_i = 1$ si $i$th capturado aves es no etiquetados, y $X_i = 0$ lo contrario. Vamos a hacer la suposición de que las variables aleatorias $X_i$ son independientes e idénticamente distribuidas con $\Bbb P(X_i = 1) = 1 - \frac{10}{N}$ donde $N$ es el número total de aves.
Cogemos exactamente $T$ de las aves, se $T = \min\{t \geq 1 : \sum_{i=1}^t X_i = 10\}$. Este es un tiempo de paro con finito de expectativa y de Wald, la ecuación muestra que $10 = \left(1-\frac{10}{N}\right)\Bbb E[T]$. Por lo tanto $$ \frac{1}{N} = \frac{1}{10} - \frac{1}{\Bbb E[T]}. $$ Ahora, si estimamos $\Bbb E[T]$$12$, obtenemos $N = 60$.
Observación. La suposición que hemos hecho es natural, si las aves son liberados, después de que nos comprueba si están marcados. De otro modo, es un poco más complicado.
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