esquemas de comprensión finitas sobre especificaciones $K$

Question

Estoy siguiendo Vakil la OFAG, ejercicio 7.3.H: Deje $X\to$Espec $K$ ser un número finito de morfismos, demostrar que $X$ es una unión finita de puntos con la topología discreta.

Estoy siguiendo la guía no. Si escribimos $X=$Espec $A$ $A$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre $K$. Si $A$ fue de un dominio, es fácil demostrar que es un campo, y así tenemos que todos los números primos de $A$ son máximas, y por lo tanto, $X$ se compone sólo de cerrado puntos.

La siguiente parte se debe demostrar que $X$ es discreto y, a continuación, la finitud seguiría de quasicompactness.

Mi pregunta es ¿por qué es $X$ discreto? Me alegraré de que nada se puede decir sobre el problema general, pero estoy buscando a entender cómo es posible mostrar discreto ahora, antes de finitud, de decir.

Answer 1

(Una respuesta basada en un intercambio de comentarios con el OP.)

Como el OP observa, un finito-dimensional $K$-álgebra que es un dominio es necesariamente un campo, y así todo el primer ideales en $A$ son máximas.

Ahora, por el CRT, si $\mathfrak m_1, \ldots,\mathfrak m_k$ son distintos máxima ideales, entonces $$A/(\mathfrak m_1 \cap \cdots \cap \mathfrak m_k) \cong A/\mathfrak m_1 \times \cdots \times A/\mathfrak m_k,$$ and so $k \leq \dim_K A.$ En particular, $A$ no admite más de $\dim_K A$ máxima ideales, y así Espec $A$ es un finito conjunto cerrado de puntos.

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Por desgracia, no veo cómo seguir directamente la pista (es decir, probar primero discreto) de una manera natural.

Answer 2

La aplicación de la definición va un largo camino; suponiendo que $K$ es un campo, $\operatorname{Spec}K$ es un punto. Para un morfismos $f:\ X\ \longrightarrow\ \operatorname{Spec} K$ a un ser finito significa precisamente que $f^{-1}(\operatorname{Spec}K)=X=\operatorname{Spec} V$ donde $V$ $K$- álgebra que es un finitely generado como un $K$-módulo, es decir, es un finito dimensionales $K$-espacio vectorial con un anillo de mapa de $K\ \longrightarrow V$.

EDIT: Como Georges Elencwajg señala en los comentarios de abajo, yo estaba un poco precipitado en mis conclusiones. No voy a decir demasiado en un intento de evitar decir más cosas tontas.

Tenga en cuenta que $V$ es Artinian, por lo que su espectro es finito y todos los primos son los ideales maximales.