¿Cómo integrar $\int_0^{\infty}\frac{e^{-(t+\frac1t)}}{\sqrt t} dt$?

Question

Este es un problema en mi tarea. Tengo que encontrar la integral $$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{e^{-(t+\frac{1}{t})}}{\sqrt t}dt

Estoy tratando de utilizar la representación integral de la función gamma, pero no he podido conseguirlo en la región de la convergencia, es decir $\int \limits_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt t}$ es claramente $\Gamma (\frac{1}{2})$ pero el segundo factor está causando un problema. Se aprecian sugerencias ni consejos. Gracias.

Answer 1

Sugerencia. Hacer el cambio de variable $t=x^2$ obtener $$\int_0^{\infty}\frac{e^{-(t+\frac{1}{t})}}{\sqrt t}dt=2\int_0^{\infty}e^{ -x^2-1/x^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ -x^2-1/x^2}dx$$ A continuación, puede recordar que, para cualquier función integrable $f$, tenemos

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x-\frac{s}{x}\right)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\: \mathrm{d}x, \quad s>0. \tag1$$

Aplicarlo a $f(x)=e^{-x^2}$, se obtiene

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-s/x)^2}\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x=\sqrt{\pi}, \quad s>0. \tag2$$

Así

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2-s^2/x^{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}\:e^{-2}\tag3$$ then put $s=1$ para obtener su integral.