Sumatoria del producto de números de Fibonacci

Question

Estoy tratando de averiguar un término general para la siguiente suma de productos de los números de fibonacci:--

$$\sum_{k=4}^{n+1} F_{k}F_{n+5-k}\; , n \geq 3$$

He intentado utilizar la ecuación de Binet, pero estoy pegado en un punto determinado. Así, yo estaría muy contento si alguien pudiera publicar una respuesta a mi pregunta con una explicación detallada.

Aquí están los primeros valores de la suma de los diferentes valores de n :--
n = 3 , y = 9
n = 4 , y = 30
n = 5 , y = 73
n = 6 , y = 158

Nota : he utilizado la costumbre de fibonacci de la notación. yo.e
$$ F_0=0,\;F_1=1,\;F_2=1,\;F_3=2,\;...etc $$

EDITAR
Después de leer los comentarios de esta pregunta, traté de resolverlo para formar una relación de recurrencia y esto es lo que terminó con :--

$$ \begin{align*} G(n)&=\sum_{k=4}^{n+1} F_kF_{n+5-k}\; , n \geq 3\\ G(n)-G(n-1)&=\sum_{k=4}^{n+1} F_kF_{n+5-k}-\sum_{k=4}^{n} F_kF_{n+4-k}\\ &=F_{n+1}F_{4}+\sum_{k=4}^{n}F_kF_{n+3-k}\\ &=F_{n+1}F_{4}+F_{n}F_{3}+\sum_{k=4}^{n-1}F_kF_{n+3-k}\\ \\ &=F_{n+1}F_{4}+F_{n}F_{3}+G(n-2)\\ \\ G(n)&=G(n-1)+G(n-2)+F_{n+1}F_{4}+F_{n}F_{3}\\ \\ \end{align*} $$

Es esto correcto ? Y ¿cómo puedo reducir aún más ?

Answer 1

Puesto que hay una serie de preguntas muy similares a este, voy a responder a una pregunta más general que debe responder a la mayoría de ellos.

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El uso de la forma cerrada de los números de Fibonacci, $$ F_n=\frac{\phi^n-(-1/\phi)^n}{\sqrt{5}}\etiqueta{1} $$ y Lucas números $$ L_n=\phi^n+(-1/\phi)^n\etiqueta{2} $$ tenemos $$ \begin{align} F_iF_{n-i} &=\frac{\phi^i-(-1/\phi)^i}{\sqrt{5}}\frac{\phi^{n-i}-(-1/\phi)^{n-i}}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\phi^n+(-1/\phi)^n-(-1)^i\left(\phi^{n-2i}+(-1/\phi)^{n-2i}\right)}{5}\\ &=\frac{L_{n}-(-1)^iL_{n-2i}}{5}\tag{3} \end{align} $$ Para sumar números de Lucas, utilizamos $(2)$ y la fórmula para la suma de una serie geométrica: $$ \begin{align} \sum_{i=j}^{k-1}F_iF_{n-i} &=\sum_{i=j}^{k-1}\frac{L_{n+5}-(-1)^iL_{n-2i}}{5}\\ &=\color{#C00000}{\frac{k-j}{5}L_{n}}\\ &\color{#00A000}{-\frac15\sum_{i=j}^{k-1}\phi^{n}\left(-1/\phi^2\right)^i}\\ &\color{#0000FF}{-\frac15\sum_{i=j}^{k-1}(-1/\phi)^{n}\left(-\phi^2\right)^i}\\ &=\color{#C00000}{\frac{k-j}{5}L_{n}}\\ &\color{#00A000}{-\frac{\phi^{n}}{5}\frac{\left(-1/\phi^2\right)^k-\left(-1/\phi^2\right)^j}{\left(-1/\phi^2\right)-1}}\\ &\color{#0000FF}{-\frac{(-1/\phi)^{n}}{5}\frac{\left(-\phi^2\right)^k-\left(-\phi^2\right)^j}{\left(-\phi^2\right)-1}}\\ &=\color{#C00000}{\frac{k-j}{5}L_{n}}\\ &\color{#00A000}{+\frac15\frac{-(-1)^{n-k}(-1/\phi)^{2k-n-1}-(-1)^{j}\phi^{n-2j+1}}{\phi+1/\phi}}\\ &\color{#0000FF}{+\frac15\frac{+(-1)^{n-k}\phi^{2k-n-1}+(-1)^{j}(-1/\phi)^{n-2j+1}}{\phi+1/\phi}}\\ &=\frac{k-j}{5}L_{n}+\frac15\left((-1)^{n-k}F_{2k-n-1}-(-1)^jF_{n-2j+1}\right)\tag{4}\\ &=\frac{k-j}{5}(F_{n-1}+F_{n+1})+\frac15\left((-1)^{n-k}F_{2k-n-1}-(-1)^jF_{n-2j+1}\right)\tag{5} \end{align} $$

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La aplicación de $(4)$ a, el problema actual de los rendimientos $$ \sum_{k=4}^{n+1}F_kF_{n+5-k}=\frac{n-2}{5}(F_{n+6}+F_{n+4})-\frac25F_{n-2}\etiqueta{5} $$