Acción de grupo diedro en polinomios en el plano

Question

Estoy estudiando la acción de la diedro grupo de polinomios y no puedo encontrar una respuesta a la siguiente pregunta.

Deje $V=\mathbb{R}^2$ ser el estándar de representación de la diedro grupo donde actúa por reflexiones, rotaciones, etc. ¿Cuáles son las componentes irreducibles de de $\operatorname{Sym}^k (V^*)$$k \ge 1$?

Yo creo que el $V^*$ sólo es isomorfo a $V$ porque es un grupo de reflexión. También creo que hay una manera fácil de calcular esto, pero no sé. He intentado buscar en Fulton & Harris, y algunos otros de la representación de la teoría de los libros, pero no podía encontrar una respuesta. Yo estaría muy agradecido por algunos indicios o indicadores relevantes de la literatura y a los libros de texto.

Answer 1

En primer lugar, tienes razón en que $V \cong V^*$ ya que esto es cierto para cualquier grupo de reflexión.

Mi respuesta se aplicarán a cualquier complejo grupo de reflexión, pero una manera de conseguir esto es utilizar un teorema de Chevalley. Para la notación, vamos a $J_+$ ser el ideal generado por todos homogénea de grado positivo $G$-invariante polinomios.

Teorema (Chevalley). Deje $G \subset GL(V)$ ser un complejo grupo de reflexión. A continuación, el anillo de invariantes $Sym(V^*)^G$ es un polinomio de álgebra, y la coinvariant álgebra $Sym(V^*) / J_+$ es una copia de los regulares de la representación.

Podemos escribir $Sym(V^*) = Sym(V^*)^G \otimes (Sym(V^*) / J_+))$, por lo que sólo tenemos 2 piezas de información: ¿cuáles son los grados de los generadores de $Sym(V^*)^G$, y lo que es la gradual descomposición de la coinvariant álgebra. La primera es bien conocida: hay una tabla en la Wikipedia y muchos otros lugares http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_reflection_group

Para el diedro grupo de orden $2m$, los grados son 2 y $m$. Para el coinvariant álgebra y una irreductible carácter $\chi$, vamos a $f_\chi(T)$ ser el polinomio que incodes los grados en que $\chi$ aparece (esto se llama falso grado). Estos tienen la siguiente expresión:

$f_\chi(T) = |G|^{-1} \prod_i (1-T^{d_i}) \sum_{g \in G} \frac{\chi(g)}{\det(1 - Tg)}$

donde el factor determinante es con respecto a la acción en $V$ e las $d_i$ son los grados de los generadores del anillo de invariantes. No podía encontrar una forma explícita para el diedro grupos, pero me imagino que simplifica mucho con un poco de pensamiento (que no probé a hacer).