En primer lugar, tienes razón en que $V \cong V^*$ ya que esto es cierto para cualquier grupo de reflexión.
Mi respuesta se aplicarán a cualquier complejo grupo de reflexión, pero una manera de conseguir esto es utilizar un teorema de Chevalley. Para la notación, vamos a $J_+$ ser el ideal generado por todos homogénea de grado positivo $G$-invariante polinomios.
Teorema (Chevalley). Deje $G \subset GL(V)$ ser un complejo grupo de reflexión. A continuación, el anillo de invariantes $Sym(V^*)^G$ es un polinomio de álgebra, y la coinvariant álgebra $Sym(V^*) / J_+$ es una copia de los regulares de la representación.
Podemos escribir $Sym(V^*) = Sym(V^*)^G \otimes (Sym(V^*) / J_+))$, por lo que sólo tenemos 2 piezas de información: ¿cuáles son los grados de los generadores de $Sym(V^*)^G$, y lo que es la gradual descomposición de la coinvariant álgebra. La primera es bien conocida: hay una tabla en la Wikipedia y muchos otros lugares http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_reflection_group
Para el diedro grupo de orden $2m$, los grados son 2 y $m$. Para el coinvariant álgebra y una irreductible carácter $\chi$, vamos a $f_\chi(T)$ ser el polinomio que incodes los grados en que $\chi$ aparece (esto se llama falso grado). Estos tienen la siguiente expresión:
$f_\chi(T) = |G|^{-1} \prod_i (1-T^{d_i}) \sum_{g \in G} \frac{\chi(g)}{\det(1 - Tg)}$
donde el factor determinante es con respecto a la acción en $V$ e las $d_i$ son los grados de los generadores del anillo de invariantes. No podía encontrar una forma explícita para el diedro grupos, pero me imagino que simplifica mucho con un poco de pensamiento (que no probé a hacer).
