Cuándo es

Question

En mecánica estadística, yo solía usar el procedimiento eso si $a_{ij}=a_i a_j$ % $ $$\prod_i\; \prod_j a_{i}a_{j} = \biggl(\prod_i a_i\biggr)\vphantom{\Bigr)}^2$

Sin embargo, hoy me di cuenta, $$\prod_i\; \prod_j 2^{i+j} = 2^{\sum_i\sum_j(i+j)}=2^{n^2(n+1)}$ $

$$\prod_i\; \prod_j 2^{i+j} =\prod_i 2^i \; \prod_j 2^j = \biggl(\prod_i2^i\biggr)\vphantom{\Bigr)}^2 = 2^{n(n+1)} $$

Por qué falla el segundo método. ¿Cuándo es aplicable?

Answer 1

La identidad en la pregunta está mal. El correcto es $$ \prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^na_ia_j=\left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{2n}. $$ Como un rápido `comprobar' usted puede tratar de contar el número de en el producto en cada lado. La expresión en la pregunta tenía $2n^2$ en la izquierda, pero sólo $2n$ a la derecha, por lo que no podía ser correcto. Una posible fuente de confusión es que la expresión original sería correcto si había signos de suma y no de productos, $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j=\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2. $$