¿Son necesariamente espacios de Hausdorff infinitos numerable, compactos, en segundo lugar contable?

Question

Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio. Si $X$ es finito, entonces no son en la mayoría de un número finito de abiertos y por tanto es de segunda contables. En el otro lado si $X$ es uncountably infinito, es posible que $X$ no ser de segunda contables. Un ejemplo clásico es $\omega_1+1$ dado la orden de topología (aquí $\omega_1$ es el primer innumerables ordinal).

Pero, ¿qué acerca de si $X$ es countably infinito? Mirando el resumen de este trabajo, parece que la existencia de un no-segunda-contables, countably infinito, compacto Hausdorff espacio es plausible si uno se prohíbe el uso del axioma de elección.

Resulta que estoy perfectamente feliz usando el axioma de elección. Así que yo me quedo preguntando si es cierto que un countably infinito, compacto Hausdorff espacio debe ser de segunda contables en ZFC. Todos los ejemplos que me inventan trabajo, pero la prueba me escapa. Podría alguien dar una prueba, de referencia o de contraejemplo, sería muy apreciada!

Answer 1

De hecho, gracias al teorema de Sierpinski-Mazurkiewicz, uno sabe precisamente todos Hausdorff contable compactos espacios topológicos; es decir, ese espacio es homeomorfa a $\omega^{\alpha} \cdot n +1$ % ordinal contable $\alpha$y algunos enteros $n \geq 1$. Por ejemplo ver mi respuesta aquí. Ahora, no es difícil comprobar que $\omega^{\alpha} \cdot n +1$ es segundo-contable.

Answer 2

Deje $X$ ser un countably infinito compacto Hausdorff espacio. Voy a mostrar (en ZFC) que $X$ es segundo contable.

Desde $X$ es contable, es suficiente para mostrar que cada punto de $x\in X$ tiene una contables barrio de la base. Todas estas barrio bases tomados en conjunto será una contables de base para la topología de $X$.

Por lo tanto, fijar $x\in X$, y el uno para el otro punto de $y\in X$, revisión discontinuo abrir conjuntos de $U_y$ $V_y$ tal que $x\in U_y$$y\in V_y$. deje $\mathcal{U}$ ser la colección de todos los conjuntos de la forma $\bigcap_{i = 1}^n U_{y_i}$ $y_1,\dots,y_n\in X$. $\mathcal{U}$ es contable, y me dicen que es un barrio de base para $x$.

De hecho, vamos a $O$ ser un conjunto abierto que contiene a $x$, y deje $C = X\setminus O$. A continuación, $C$ es cerrado, por lo tanto compacto. La colección de abrir conjuntos de $\{V_y\mid y\in C\}$ cubre $C$, por lo que puede ser refinado para un finito subcover, $\{V_{y_1},\dots,V_{y_n}\}$. Desde $C \subseteq \bigcup_{i = 1}^n V_{y_i}$, la $\bigcap_{i = 1}^n U_{y_i}$ en nuestra propuesta de barrio base es un subconjunto de a $O$, como iba a ser mostrado.

Answer 3

Comento esto en el papel. Esencialmente se trata de teoremas 2.2 + 2.3, y la implicación obvia que el axioma de elección implica lo que llaman $\bf CAC(\Bbb R)$.