¿Podemos derivar lo que $A$ conmuta con $B$ de esto?

Question

Basado en algunos de Física de fondos, quiero confirmar lo siguiente.

Deje $[A,B]:=AB-BA$ donde $A,B$ son matrices. Ahora la pregunta es la siguiente:

Si para cualquier número real $\lambda$, $[A,e^{\lambda B}]=0$, a continuación, se $[A,B]=0$ verdad? Donde $A,B$ son matrices.

Si la declaración es verdadera, cómo dar una rigurosa prueba ?

Hasta ahora, el enfoque por mí mismo es: $[A,e^{\lambda B}]=\lambda[A,B]+\frac{\lambda^2}{2}[A,B^2]+...=0\Rightarrow\frac{1}{\lambda}[A,e^{\lambda B}]=[A,B]+\frac{\lambda}{2}[A,B^2]+...=0 $(para cualquier valor distinto de cero $\lambda$),$\lim_{ \lambda\rightarrow 0}\frac{1}{\lambda}[A,e^{\lambda B}]=[A,B]=0$.

Es mi prueba rigurosa desde el punto de vista de Matemáticas? Otro excelente método es bienvenida! Gracias!

Answer 1

$e^{\lambda B}$ es una analítica de la función de $\lambda$. Por lo tanto, $$\frac{d}{d\lambda }e^{\lambda B}=Be^{\lambda B}=e^{\lambda B}B.$$ Escribimos

$$0=\frac{d}{d\lambda }[A,e^{\lambda B}] = ABe^{\lambda B}-e^{\lambda B}BA ,$$ por tanto, para $\lambda=0$ obtenemos $[A,B]=0$.

La versión anterior $$0=\frac{d}{d\lambda }[A,e^{\lambda B}] = Ae^{\lambda B}B-e^{\lambda B}BA =e^{\lambda B}(AB- BA),$$ por lo tanto, por el hecho de que $ e^{\lambda B} $ es no-singular, obtenemos que $[A,B]=0$.

Posible generalización del problema

Si $[A,e^{\lambda B}]$ es una constante de matriz con respecto a $\lambda$ en un no-vacío intervalo de $(\lambda_-,\lambda_+)$,$[A,B]=0$.

Aclaración

Una matriz se llama no singular si su determinante es distinto de cero (es decir, la matriz es invertible o la matriz no tiene autovalores cero). En nuestro caso, los valores propios de la matriz $e^{\lambda B}$ tiene la forma $e^{\lambda \mu_j}\ne 0$ donde $\mu_j$ son los autovalores de a $B$. El determinante de la matriz es un producto de sus autovalores tomado con la multiplicidad, por lo tanto podemos concluir que el $\det e^{\lambda B}\ne 0$.

Como para analiticidad, sugiero que leas estos dos artículos en el wiki: forma normal de Jordan y Jordan de la matriz, especialmente las funciones de matrices y espectral de la asignación de teoremas.